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110學年新莊國中第3次段考數學 第24題 詳解

正方形全等證明與角度求解 · 非選 · 題目出處：110 學年度第 1 學期第 3 次定期評量 數學科（新北市立新莊國民中學）

答案(1) 在 △ABE 和 △BCF 中：AB‾=BC‾\overline{AB}=\overline{BC}、∠ABE=∠C=90°\angle ABE=\angle C=90°、BE‾=CF‾\overline{BE}=\overline{CF}，∴ △ABE≅△BCF（SAS 全等性質）。
(2) ∠AGF=90°\angle AGF=90°看逐步解析 ↓

題目
如下圖，四邊形ABCD為正方形，BE‾=CF‾\overline{BE}=\overline{CF}，回答下列問題：
(1) 求證△ABE≅△BCF。
(2) ∠AGF的度數為何？
正方形ABCD，整個正方形以灰色填滿。A在左上角、D在右上角、B在左下角、C在右下角。E點在底邊BC上（介於B、C之間，偏靠近B）。F點在右邊DC上（介於D、C之間，偏靠近C）。圖上畫出兩條線段：由A到E，以及由B到F；此兩線段相交於正方形內部一點，標示為G。

逐步解析

  1. 1

    (1) SAS 全等

    在 △ABE 與 △BCF 中：<br>AB‾=BC‾\overline{AB}=\overline{BC}（正方形四邊等長）；<br>∠ABE=∠BCF=90∘\angle ABE=\angle BCF=90^\circ（正方形四個角都是直角）；<br>BE‾=CF‾\overline{BE}=\overline{CF}（已知）。<br>∴ △ABE ≅ △BCF（SAS 全等性質）。
  2. 2

    (2) 找對應角

    由 (1) 全等，對應角相等：∠BAE=∠CBF\angle BAE=\angle CBF，也就是 ∠BAE=∠GBE\angle BAE=\angle GBE。
  3. 3

    證出直角

    在直角 △ABE 中，∠BAE+∠AEB=90∘\angle BAE+\angle AEB=90^\circ。<br>把 ∠BAE\angle BAE 換成 ∠GBE\angle GBE：∠GBE+∠GEB=90∘\angle GBE+\angle GEB=90^\circ。<br>所以在 △GBE 中，∠BGE=180∘−90∘=90∘\angle BGE=180^\circ-90^\circ=90^\circ。
  4. 4

    對頂角得答案

    AA、GG、EE 共線，BB、GG、FF 共線，∠AGF\angle AGF 與 ∠BGE\angle BGE 是對頂角，<br>所以 ∠AGF=∠BGE=90∘\angle AGF=\angle BGE=90^\circ。
答案
(1) 在 △ABE 和 △BCF 中：AB‾=BC‾\overline{AB}=\overline{BC}、∠ABE=∠C=90°\angle ABE=\angle C=90°、BE‾=CF‾\overline{BE}=\overline{CF}，∴ △ABE≅△BCF（SAS 全等性質）。
(2) ∠AGF=90°\angle AGF=90°

關鍵觀念：#正方形 #全等 #角度計算

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常見卡點
常見失分是看圖覺得 AE‾\overline{AE} 和 BF‾\overline{BF} 垂直就直接寫 90∘90^\circ，沒有推導。另外要注意對應頂點：△ABE 的 AA、BB、EE 對應 △BCF 的 BB、CC、FF，所以 ∠BAE 對應的是 ∠CBF，不是 ∠BCF。

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