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110學年新莊國中第3次段考數學 第22題 詳解

圓內接等腰三角形角度計算 · 單選 · 題目出處：110 學年度第 1 學期第 3 次定期評量 數學科（新北市立新莊國民中學）

題目
如圖9，△ABC是圓O的內接等腰三角形，其中AB‾=AC‾\overline{AB}=\overline{AC}，今延長CO‾\overline{CO}交AB‾\overline{AB}於D。若∠BDC=60°，則∠B=?
(A) 65°　(B) 70°　(C) 60°　(D) 55°
一個圓，圓心O標於圓內偏下方，以黑點表示。圓周上有三點：B在左上、C在左下、A在右側，以直線連接AB、BC、CA構成一個內接三角形。另有一點D，位於線段AB上（介於B、A之間，偏靠近圓周上緣處）；C、O、D三點以一條直線相連（即CO往上延伸通過D）。D點左側、線段DB與線段DO之間標有60°的弧形角度記號。

答案(B)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    設未知數

    AB‾=AC‾\overline{AB}=\overline{AC}，所以 ∠ABC=∠ACB\angle ABC=\angle ACB，設為 xx，則 ∠BAC=180∘−2x\angle BAC=180^\circ-2x。
  2. 2

    利用圓心在頂角平分線上

    OO 是圓心，也是 △ABC 的外心，在底邊 BC‾\overline{BC} 的中垂線上；等腰三角形底邊的中垂線就是頂角的平分線，所以 ∠OAC=12∠BAC=90∘−x\angle OAC=\dfrac12\angle BAC=90^\circ-x。<br>OA‾=OC‾\overline{OA}=\overline{OC}（都是半徑），所以 ∠OCA=∠OAC=90∘−x\angle OCA=\angle OAC=90^\circ-x。
  3. 3

    求 ∠DCB

    DD 在直線 COCO 上，所以 ∠DCB=∠ACB−∠OCA=x−(90∘−x)=2x−90∘\angle DCB=\angle ACB-\angle OCA=x-(90^\circ-x)=2x-90^\circ。
  4. 4

    在 △DBC 列方程式

    △DBC 內角和：∠B+∠BDC+∠DCB=180∘\angle B+\angle BDC+\angle DCB=180^\circ，<br>x+60∘+(2x−90∘)=180∘x+60^\circ+(2x-90^\circ)=180^\circ，3x=210∘3x=210^\circ，x=70∘x=70^\circ。<br>所以 ∠B=70∘\angle B=70^\circ，故選 (B)。
答案
(B)

關鍵觀念：#外心 #等腰三角形

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常見卡點
容易把 CD‾\overline{CD} 當成 ∠ACB 的角平分線，設 ∠DCB=x2\angle DCB=\dfrac{x}{2}，列出 x+60∘+x2=180∘x+60^\circ+\dfrac{x}{2}=180^\circ，得 x=80∘x=80^\circ，不在選項中。CD‾\overline{CD} 是過圓心的線，只能靠半徑相等找角。可代回驗算：x=70∘x=70^\circ 時 ∠DCB=50∘\angle DCB=50^\circ，70∘+60∘+50∘=180∘70^\circ+60^\circ+50^\circ=180^\circ。列式前先把每個角用同一個未知數表示。

還是卡住嗎？

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