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110學年鷺江國中第2次段考數學 第20題 詳解

兩角平分線求夾角 · 填充 · 題目出處：110 學年度第 2 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如（圖九），OB‾\overline{OB}、OC‾\overline{OC}為∠B\angle B、∠C\angle C的角平分線且∠A=70°\angle A=70°，則∠BOC=\angle BOC=多少度？
三角形ABC：A在上方、B在左下、C在右下。O為三角形內部一點，僅與B、C分別以線段相連（O未與A相連），形成內部小三角形BOC。

答案125125看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    先算兩個角的和

    在 △ABC\triangle ABC 中用內角和：∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−70°=110°\angle ABC+\angle ACB=180°-\angle A=180°-70°=110°。
  2. 2

    取一半

    OB‾\overline{OB}、OC‾\overline{OC} 分別平分 ∠B\angle B、∠C\angle C，所以 ∠OBC=12∠ABC\angle OBC=\dfrac{1}{2}\angle ABC、∠OCB=12∠ACB\angle OCB=\dfrac{1}{2}\angle ACB，兩者相加為 12×110°=55°\dfrac{1}{2}\times110°=55°。
  3. 3

    回到小三角形

    在 △OBC\triangle OBC 中用內角和：∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−55°=125°\angle BOC=180°-(\angle OBC+\angle OCB)=180°-55°=125°。
  4. 4

    整理成通用公式

    把過程寫成一般式：∠BOC=180°−180°−∠A2=90°+∠A2\angle BOC=180°-\dfrac{180°-\angle A}{2}=90°+\dfrac{\angle A}{2}。代入 ∠A=70°\angle A=70° 得 90°+35°=125°90°+35°=125°，與前面一致。
答案
125125

關鍵觀念：#角平分線 #三角形內角

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常見卡點
算出 ∠ABC+∠ACB=110°\angle ABC+\angle ACB=110° 之後忘了角平分線只取一半，直接寫成 180°−110°=70°180°-110°=70°，是這題最常見的錯。那個 110°110° 是原來三角形兩個內角的和，不是小三角形裡用到的量；△OBC\triangle OBC 用到的是這兩個角各自的一半，合計只有 55°55°，所以 ∠BOC=125°\angle BOC=125°。順手記住 ∠BOC=90°+∠A2\angle BOC=90°+\dfrac{\angle A}{2}，就能立刻檢查答案一定大於 90°90°，比原來那兩個角都大。

還是卡住嗎？

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