110學年鷺江國中第2次段考數學 第22題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先補出第三邊

   四邊形 $ABCD$ 是長方形，所以 $\angle B=90°$。在直角 $\triangle ABC$ 中由畢氏定理得 $\overline{BC}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
2. 2

   作垂線用角平分線性質

   過 $E$ 作 $\overline{EF}\perp\overline{AC}$，垂足為 $F$。因為 $\overline{AE}$ 平分 $\angle BAC$，$E$ 到 $\angle BAC$ 兩邊的距離相等，所以 $\overline{EF}=\overline{EB}$。
3. 3

   找出全等

   $\triangle ABE$ 與 $\triangle AFE$ 都是直角三角形，斜邊 $\overline{AE}$ 共用、股 $\overline{EB}=\overline{EF}$，由 RHS 得兩者全等，所以 $\overline{AF}=\overline{AB}=6$，進而 $\overline{FC}=\overline{AC}-\overline{AF}=10-6=4$。
4. 4

   用畢氏解出 EB

   設 $\overline{EB}=\overline{EF}=h$，則 $\overline{EC}=8-h$。在直角 $\triangle EFC$ 中 $h^2+4^2=(8-h)^2$，展開得 $h^2+16=64-16h+h^2$，所以 $16h=48$，$h=3$。
5. 5

   算面積

   $\overline{EC}=8-3=5$。$\triangle ACE$ 以 $\overline{EC}$ 為底時，高正是 $\overline{AB}=6$，所以面積 $=\dfrac{1}{2}\times5\times6=15$。

關鍵觀念：#角平分線 #長方形 #三角形面積

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