110學年鷺江國中第2次段考數學 第23題 詳解

逐步解析

1. 1

   先作一條輔助垂線

   在直角 $\triangle ABC$ 中，$\overline{AB}=4$、$\overline{BC}=3$、$\angle B=90°$，由畢氏定理得 $\overline{AC}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，而 $\overline{CF}=\overline{CA}=5$（正方形 $ACFG$ 的邊）。把 $\overline{BC}$ 往 $C$ 的外側延長，過 $F$ 作這條延長線的垂線，垂足記為 $K$。
2. 2

   證明兩個三角形全等

   $B$、$C$、$K$ 在同一直線上且 $\angle ACF=90°$，所以 $\angle FCK=180°-90°-\angle ACB=90°-\angle ACB$。而 $\triangle ABC$ 中 $\angle BAC=90°-\angle ACB$，故 $\angle FCK=\angle BAC$。再加上 $\angle FKC=\angle ABC=90°$ 與 $\overline{CF}=\overline{AC}$，由 AAS 得 $\triangle CKF\cong\triangle ABC$。
3. 3

   算出 BF

   由全等得 $\overline{KF}=\overline{BC}=3$、$\overline{CK}=\overline{AB}=4$，所以 $\overline{BK}=\overline{BC}+\overline{CK}=3+4=7$。在直角 $\triangle BKF$ 中由畢氏定理得 $\overline{BF}=\sqrt{7^2+3^2}=\sqrt{58}$。
4. 4

   找出另一個全等三角形

   正方形 $BCDE$ 中 $\overline{DE}=\overline{BC}=3$ 且 $\overline{DE}\perp\overline{BE}$；又 $A$、$B$、$E$ 共線，$\overline{AE}=\overline{AB}+\overline{BE}=4+3=7$。所以直角 $\triangle AED$ 的兩股是 $7$ 與 $3$，與直角 $\triangle BKF$ 的兩股完全相同，由 SAS 得 $\triangle AED\cong\triangle BKF$，因此 $\angle DAE=\angle FBK$。
5. 5

   推出角 1

   設 $\overline{AD}$ 與 $\overline{FB}$ 交於 $P$，$\angle1$ 就是 $\angle APB$。由 $\overline{AE}\perp\overline{BK}$ 得 $\angle ABP=90°-\angle FBK$。在 $\triangle ABP$ 中，$\angle1=180°-\angle PAB-\angle ABP=180°-\angle DAE-(90°-\angle FBK)=90°$。
6. 6

   寫出答案

   所以 $\overline{BF}=\sqrt{58}$，$\angle1=90°$。

關鍵觀念：#直角三角形 #正方形 #全等三角形

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