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111學年鷺江國中第1次段考數學 第15題 詳解

乘法公式技巧求值 · 填充 · 題目出處：111 學年度第 1 學期第 1 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
計算 2007×2005−20062=2007\times2005-2006^2=？

答案−1-1看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    找出中間那個數

    20052005、20062006、20072007 是連續的三個整數，中間是 20062006。設 a=2006a=2006，那麼 2007=a+12007=a+1、2005=a−12005=a-1，原式就變成 (a+1)(a−1)−a2(a+1)(a-1)-a^2。
  2. 2

    套平方差公式

    (a+1)(a−1)(a+1)(a-1) 正是平方差公式的形狀，等於 a2−12=a2−1a^2-1^2=a^2-1。
  3. 3

    相減得結果

    原式 =(a2−1)−a2=a2−1−a2=−1=(a^2-1)-a^2=a^2-1-a^2=-1。注意被減掉的 a2a^2 比較大，所以結果是負的。
  4. 4

    直接乘開驗算

    20062=40240362006^2=4024036，2007×2005=40240352007\times2005=4024035，相減得 4024035−4024036=−14024035-4024036=-1，與公式算的一致。所以 2007×2005−20062=−12007\times2005-2006^2=-1。
答案
−1-1

關鍵觀念：#乘法公式 #巧算

常見卡點
千萬不要硬乘。2007×20052007\times2005 與 200622006^2 都是七位數，手算在進位時很容易出錯，而且算完還要做大數減法。看到「連續三個數：兩邊相乘減中間的平方」就設中間那個為 aa，立刻化成 (a+1)(a−1)−a2=−1(a+1)(a-1)-a^2=-1。另一個常見失誤是符號——a2−1−a2a^2-1-a^2 的結果是 −1-1 不是 11，因為減掉的是比較大的 a2a^2。這個結論對任何整數都成立，不只這一組數字。

還是卡住嗎？

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