111學年鷺江國中第1次段考數學 第13題 詳解

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逐步解析

1. 1

   三條垂線互相平行

   $\overline{AB}$、$\overline{EF}$、$\overline{CD}$ 都垂直於同一條 $\overline{BD}$，所以三條線段互相平行。由 $\overline{EF}\parallel\overline{AB}$ 可得 $\triangle DEF\sim\triangle DAB$；由 $\overline{EF}\parallel\overline{CD}$ 可得 $\triangle BEF\sim\triangle BCD$。
2. 2

   各寫出一個比例式

   由 $\triangle DEF\sim\triangle DAB$ 得 $\dfrac{\overline{EF}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{DF}}{\overline{DB}}$；由 $\triangle BEF\sim\triangle BCD$ 得 $\dfrac{\overline{EF}}{\overline{CD}}=\dfrac{\overline{BF}}{\overline{BD}}$。兩式的分母都是整條 $\overline{BD}$，這是關鍵。
3. 3

   兩式相加湊出 1

   把兩式相加：$\dfrac{\overline{EF}}{\overline{AB}}+\dfrac{\overline{EF}}{\overline{CD}}=\dfrac{\overline{DF}}{\overline{DB}}+\dfrac{\overline{BF}}{\overline{BD}}=\dfrac{\overline{DF}+\overline{BF}}{\overline{BD}}=\dfrac{\overline{BD}}{\overline{BD}}=1$。因為 $F$ 在 $\overline{BD}$ 上，兩段加起來剛好是全長。
4. 4

   代入數字求 EF

   代入 $\overline{AB}=84$、$\overline{CD}=63$：$\dfrac{\overline{EF}}{84}+\dfrac{\overline{EF}}{63}=1$。通分得 $\overline{EF}\times\left(\dfrac{1}{84}+\dfrac{1}{63}\right)=\overline{EF}\times\dfrac{3+4}{252}=\overline{EF}\times\dfrac{1}{36}=1$，所以 $\overline{EF}=36$。故選 (A)。

關鍵觀念：#平行線截比例線段 #垂直