111學年鷺江國中第1次段考數學 第10題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先看甲和丙

   甲是 $\triangle ABO$，丙是 $\triangle CDO$。$\angle AOB$ 與 $\angle COD$ 是對頂角，相等；夾這個角的兩組邊為 $\overline{OA}$ 對 $\overline{OC}$、$\overline{OB}$ 對 $\overline{OD}$，比值都是 $1:2$。由 SAS 相似性質可得 $\triangle ABO\sim\triangle CDO$，所以甲、丙相似。
2. 2

   把四段長度設出來

   令 $\overline{OA}=a$，則 $\overline{OC}=2a$；令 $\overline{OB}=b$，則 $\overline{OD}=2b$。於是 $\overline{AC}=3a$、$\overline{BD}=3b$。題目指明兩條對角線不等長，所以 $3a\neq 3b$，也就是 $a\neq b$，這個條件等一下會用到。
3. 3

   再看乙和丁的夾邊

   乙是 $\triangle BCO$，丁是 $\triangle ADO$，$\angle BOC$ 與 $\angle AOD$ 也是對頂角。但乙的兩條夾邊是 $\overline{OB}=b$ 與 $\overline{OC}=2a$，丁的兩條夾邊是 $\overline{OA}=a$ 與 $\overline{OD}=2b$，每個三角形都各拿一條來自不同對角線的邊。
4. 4

   驗證乙丁配不起來

   若 $\triangle BCO\sim\triangle ADO$（$B$ 對 $A$、$C$ 對 $D$），需要 $\dfrac{b}{a}=\dfrac{2a}{2b}$，整理得 $b^2=a^2$，推出 $a=b$，與 $a\neq b$ 矛盾。若改成 $B$ 對 $D$、$C$ 對 $A$，需要 $\dfrac{b}{2b}=\dfrac{2a}{a}$，也就是 $\dfrac{1}{2}=2$，不成立。兩種對應方式都行不通，所以乙、丁不相似。故選 (D)。

關鍵觀念：#四邊形 #對角線 #相似形

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