111學年鷺江國中第1次段考數學 第9題 詳解

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逐步解析

1. 1

   平行的判定依據是什麼

   要保證 $\overline{DE}\parallel\overline{BC}$，靠的是「$\overline{AB}$ 與 $\overline{AC}$ 被 $D$、$E$ 切成相同比例」，寫法有兩種：$\overline{AD}:\overline{AB}=\overline{AE}:\overline{AC}$，或 $\overline{AD}:\overline{DB}=\overline{AE}:\overline{EC}$。這兩種可以互相推得。
2. 2

   檢查 (A) 與 (D)

   (A) 給的正是「上段比全邊」相等，配上共用的 $\angle A$，由 SAS 相似性質得 $\triangle ADE\sim\triangle ABC$，於是 $\angle ADE=\angle ABC$，同位角相等推出 $\overline{DE}\parallel\overline{BC}$。(D) 給的是「上段比下段」相等，與 (A) 等價，一樣能保證平行。
3. 3

   檢查 (B)

   (B) 給的是 $\overline{BD}:\overline{AB}=\overline{CE}:\overline{AC}$。因為 $\overline{AD}=\overline{AB}-\overline{BD}$、$\overline{AE}=\overline{AC}-\overline{CE}$，可得 $\dfrac{\overline{AD}}{\overline{AB}}=1-\dfrac{\overline{BD}}{\overline{AB}}=1-\dfrac{\overline{CE}}{\overline{AC}}=\dfrac{\overline{AE}}{\overline{AC}}$，正好回到 (A) 的條件，所以也能保證平行。
4. 4

   找出保證不了的那一個

   (C) 給的是 $\overline{AD}:\overline{AB}=\overline{DE}:\overline{BC}$，裡頭的 $\overline{DE}$ 並不在 $\overline{AB}$ 或 $\overline{AC}$ 上，它只是一個「長度」，沒有鎖住 $E$ 在 $\overline{AC}$ 上的位置。具體來說：以 $D$ 為圓心、$\overline{DE}$ 為半徑畫圓，這個圓和 $\overline{AC}$ 除了 $E$ 之外還可能交出另一個點 $E'$，此時 $\overline{DE'}=\overline{DE}$，(C) 的等式照樣成立，但 $\overline{DE'}$ 和 $\overline{BC}$ 並不平行。故選 (C)。

關鍵觀念：#平行線截比例線段 #三角形