111學年鷺江國中第2次段考數學 第10題 詳解

答案$x=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   先把 x 解出來

   $(\sqrt{5}-\sqrt{2})x=1$，把 $x$ 前面的係數整個移到右邊。因為 $\sqrt{5}-\sqrt{2}$ 不是 $0$，兩邊同除以它，得 $x=\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$。
2. 2

   分母有理化

   分母還留著根號，不算最簡，要做分母有理化。利用 $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，把分子分母同乘分母的有理化因式 $\sqrt{5}+\sqrt{2}$（只變中間的正負號）：$x=\frac{1\times(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})}$。
3. 3

   分母算成整數

   分母用平方差展開：$(\sqrt{5})^2-(\sqrt{2})^2=5-2=3$，根號被消掉了。分子是 $\sqrt{5}+\sqrt{2}$，所以 $x=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}$。
4. 4

   回頭驗算

   代回原式檢查：$(\sqrt{5}-\sqrt{2})\times\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}=\frac{(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{3}=\frac{5-2}{3}=\frac{3}{3}=1$，確實等於 $1$。故 $x=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}$。

關鍵觀念：#根式方程 #分母有理化