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111學年新莊國中第3次段考數學 第22題 詳解

正方形與平行四邊形證明線段相等 · 非選 · 題目出處：111 學年度第 1 學期第 3 次定期評量 數學科（新北市立新莊國民中學）

題目
如圖，已知四邊形 CDEF 與四邊形 CGHI 都是正方形，且四邊形 CIJF 為平行四邊形，求證 JC‾=GD‾\overline{JC}=\overline{GD}(5分)
圖中有一大一小兩個正方形，共用頂點C：小正方形CGHI（H在左、I在上、C在右、G在下，四邊為$\overline{CI}$、$\overline{IH}$、$\overline{HG}$、$\overline{GC}$）；大正方形CDEF（C在左上、F在右上、E在右下、D在左下，四邊為$\overline{CF}$、$\overline{FE}$、$\overline{ED}$、$\overline{DC}$）。另有J點在最上方，與I、F之間各畫一條線段（$\overline{IJ}$、$\overline{JF}$），連同已有的$\overline{CI}$、$\overline{CF}$共同構成四邊形CIJF。

答案證明：(1) 四邊形 CDEF 為正方形 ⟹ CF=DC。(2) 四邊形 CIJF 為平行四邊形 ⟹ ∠JFC=180°−∠FCI；又周角 ⟹ ∠GCD=360°−90°×2−∠FCI=180°−∠FCI，故 ∠JFC=∠GCD。(3) 四邊形 CGHI 為正方形 ⟹ GC=IC；又四邊形 CIJF 為平行四邊形 ⟹ IC=JF，故 GC=JF。(4) 在 △CFJ 和 △DCG 中，CF=DC（由(1)）、GC=JF（由(3)）、∠JFC=∠GCD（由(2)），故 △CFJ≅△DCG（SAS 全等性質），故 JC=GD（對應邊相等）。看逐步解析 ↓

逐步解析

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答案
證明：(1) 四邊形 CDEF 為正方形 ⟹ CF=DC。(2) 四邊形 CIJF 為平行四邊形 ⟹ ∠JFC=180°−∠FCI；又周角 ⟹ ∠GCD=360°−90°×2−∠FCI=180°−∠FCI，故 ∠JFC=∠GCD。(3) 四邊形 CGHI 為正方形 ⟹ GC=IC；又四邊形 CIJF 為平行四邊形 ⟹ IC=JF，故 GC=JF。(4) 在 △CFJ 和 △DCG 中，CF=DC（由(1)）、GC=JF（由(3)）、∠JFC=∠GCD（由(2)），故 △CFJ≅△DCG（SAS 全等性質），故 JC=GD（對應邊相等）。

關鍵觀念：#正方形 #平行四邊形 #全等證明

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