111學年鷺江國中第2次段考數學 第23題 詳解

逐步解析

1. 1

   先判斷垂足會落在哪裡

   看清楚 $\triangle ABC$ 的形狀：$C$ 在 $A$ 的左上方，$\angle CAB$ 是鈍角。所以由 $C$ 向 $\overline{AB}$ 所在的直線作垂線時，垂足會落在 $A$ 的外側，也就是 $\overline{BA}$ 往 $A$ 那一邊的延長線上。作圖前先把 $\overline{BA}$ 往 $A$ 的方向延長一段。
2. 2

   用 C 畫第一道弧

   以 $C$ 為圓心，取一個夠大的半徑（要大於 $C$ 到直線 $AB$ 的距離），畫弧與直線 $AB$（含剛才的延長線）交於兩點，把它們記作 $P$、$Q$。這一步的用意是造出 $\overline{CP}=\overline{CQ}$。
3. 3

   作 PQ 的中垂線

   分別以 $P$、$Q$ 為圓心，取同一個大於 $\frac{1}{2}\overline{PQ}$ 的半徑畫弧，兩弧相交於一點，記作 $R$（畫在 $C$ 的另一側比較好連）。這一步造出 $\overline{RP}=\overline{RQ}$。
4. 4

   連線得到高

   連 $\overleftrightarrow{CR}$，它與直線 $AB$ 的交點記作 $H$。線段 $\overline{CH}$ 就是所求的高（$H$ 會落在 $\overline{BA}$ 的延長線上）。作圖的三組弧線都要保留，不要擦掉。
5. 5

   說明為什麼會垂直

   因為 $\overline{CP}=\overline{CQ}$，$C$ 在 $\overline{PQ}$ 的中垂線上；又 $\overline{RP}=\overline{RQ}$，$R$ 也在 $\overline{PQ}$ 的中垂線上。兩點決定一直線，所以 $\overleftrightarrow{CR}$ 就是 $\overline{PQ}$ 的中垂線，必定垂直於 $\overline{PQ}$ 所在的直線 $AB$，因此 $\overline{CH}\perp\overline{AB}$。

關鍵觀念：#三角形的高 #尺規作圖