111學年鷺江國中第2次段考數學 第18題 詳解

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逐步解析

1. 1

   把密鋪放進坐標

   正六邊形密鋪時每個頂點都落在固定的格點上，用坐標算最穩。取正六邊形邊長為 $2$，以 $B$ 為原點、水平向右為 $x$ 軸、鉛直向上為 $y$ 軸。由圖讀出六個點的位置：$A(2\sqrt{3},4)$、$B(0,0)$、$C(3\sqrt{3},-3)$、$D(6\sqrt{3},0)$、$E(6\sqrt{3},6)$、$F(5\sqrt{3},3)$。
2. 2

   算出三角形ACD的三邊

   用畢氏定理算長度。$\overline{AC}$：水平差 $3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}$、鉛直差 $7$，$\overline{AC}=\sqrt{3+49}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$。$\overline{CD}$：水平差 $3\sqrt{3}$、鉛直差 $3$，$\overline{CD}=\sqrt{27+9}=6$。$\overline{AD}$：水平差 $4\sqrt{3}$、鉛直差 $4$，$\overline{AD}=\sqrt{48+16}=8$。
3. 3

   檢查 (A)

   $\triangle ADE$：$\overline{AD}=8$ 是兩個三角形共用的邊；$\overline{DE}$ 是鉛直線段，長 $6-0=6$；$\overline{AE}$ 的水平差 $4\sqrt{3}$、鉛直差 $2$，$\overline{AE}=\sqrt{48+4}=2\sqrt{13}$。三邊 $8$、$6$、$2\sqrt{13}$ 和 $\triangle ACD$ 完全一樣，由 $SSS$ 可知兩者全等。
4. 4

   檢查其他選項

   $\overline{AB}=\sqrt{12+16}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$、$\overline{AF}=\sqrt{27+1}=2\sqrt{7}$、$\overline{CF}=\sqrt{12+36}=4\sqrt{3}$、$\overline{BF}=\sqrt{75+9}=2\sqrt{21}$。$\triangle ACF$、$\triangle ABC$、$\triangle BCF$ 都含有 $2\sqrt{7}$ 或 $4\sqrt{3}$ 這種 $\triangle ACD$ 沒有的邊長，所以都不全等。
5. 5

   下結論

   只有 $\triangle ADE$ 與 $\triangle ACD$ 三邊對應相等。其實從坐標也看得出來：$\overline{AD}$ 恰好是 $\overline{CE}$ 的中垂線，沿 $\overline{AD}$ 對摺時 $C$ 會剛好疊到 $E$。故選 (A)。

關鍵觀念：#正六邊形 #三角形全等 #圖形密鋪

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