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111學年鷺江國中第2次段考數學 第24題 詳解

五邊形公園尺規作圖求噴水池位置 · 非選 · 題目出處：111 學年度第 2 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

答案略（尺規作圖，見答案卷）；噴水池位置 PP 為 ∠ABC\angle ABC 角平分線與 CE‾\overline{CE} 中垂線的交點（落在五邊形內部偏左處）。看逐步解析 ↓

題目
下圖為五邊形公園，公園管理處規劃在內部設置一座噴水池，設置原則為「使噴水池到最多民眾散步的兩條步道AB‾\overline{AB}、BC‾\overline{BC}之距離相等，且到洗手間CC、EE兩處的距離亦相等。」利用尺規作圖找出噴水池位置。（無須寫步驟但需保留作圖痕跡）
一個五邊形公園（頂點 $A$ 上方、$B$ 左側、$C$ 左下、$D$ 右下、$E$ 右側），內部填滿草地圖樣的綠色區域；靠近 $E$ 附近與靠近 $C$ 附近各有一個洗手間（WC）圖示標記。

逐步解析

  1. 1

    把第一個條件翻成作圖語言

    「到步道 AB‾\overline{AB}、BC‾\overline{BC} 的距離相等」：這兩條邊都經過頂點 BB，夾出 ∠ABC\angle ABC。到一個角的兩邊等距的點，落在這個角的角平分線上。所以噴水池 PP 在 ∠ABC\angle ABC 的角平分線上。
  2. 2

    把第二個條件翻成作圖語言

    「到洗手間 CC、EE 兩處的距離相等」：這是到兩個「點」等距，這種點落在 CE‾\overline{CE} 的中垂線上。所以 PP 也在 CE‾\overline{CE} 的中垂線上。
  3. 3

    作 角ABC 的角平分線

    以 BB 為圓心、取適當半徑畫弧，分別交 BA‾\overline{BA} 於 MM、交 BC‾\overline{BC} 於 NN；再分別以 MM、NN 為圓心，取同一個大於 12MN‾\frac{1}{2}\overline{MN} 的半徑畫弧，兩弧交於 KK；連 BK→\overrightarrow{BK}，這就是 ∠ABC\angle ABC 的角平分線。
  4. 4

    作 CE 的中垂線

    先連 CE‾\overline{CE}。分別以 CC、EE 為圓心，取同一個大於 12CE‾\frac{1}{2}\overline{CE} 的半徑，在 CE‾\overline{CE} 的兩側各畫一弧，得到兩個交點；把這兩個交點連成一直線，就是 CE‾\overline{CE} 的中垂線。
  5. 5

    取交點並收尾

    角平分線與中垂線的交點，就是噴水池的位置 PP（會落在五邊形內部偏左的位置）。這個 PP 同時滿足「到 AB‾\overline{AB}、BC‾\overline{BC} 等距」與「到 CC、EE 等距」兩個條件。所有作圖弧線都要保留，不可擦掉。
答案
略（尺規作圖，見答案卷）；噴水池位置 PP 為 ∠ABC\angle ABC 角平分線與 CE‾\overline{CE} 中垂線的交點（落在五邊形內部偏左處）。

關鍵觀念：#角平分線 #中垂線 #尺規作圖應用

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常見卡點
這題考的是「把文字條件翻成正確的作圖工具」。到兩條邊（直線）等距用角平分線，到兩個點等距用中垂線，兩者絕對不能互換。最常見的錯是看到 AB‾\overline{AB}、BC‾\overline{BC} 兩個名稱就當成兩個點去作中垂線，或看到 CC、EE 兩點就想作角平分線。另外角平分線要以兩條步道的交點 BB 為頂點來作，不是隨便找一個角。

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