111學年鷺江國中第2次段考數學 第9題 詳解

答案(B)看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   先把連線看清楚

   這個圖的關鍵在於誰連誰：外側三個頂點是 $A$（上）、$B$（左下）、$C$（右下），裡面有靠左的 $D$ 與靠右的 $E$。仔細看會發現 $B$ 連到的是右邊的 $E$、$C$ 連到的是左邊的 $D$，所以 $\overline{BE}$ 與 $\overline{CD}$ 會互相交叉。設交點為 $P$。
2. 2

   把輔助線的兩個角放進三角形

   圖中的虛線是 $\overline{BC}$，$\angle1=\angle PBC$、$\angle2=\angle PCB$。在 $\triangle PBC$ 中，三內角和 $180°$，所以 $\angle BPC=180°-\angle1-\angle2$。
3. 3

   用對頂角搬到上面的小三角形

   $\angle DPE$ 與 $\angle BPC$ 是對頂角，所以 $\angle DPE=180°-\angle1-\angle2$。又因為 $P$ 在 $\overline{CD}$ 上，$\angle D$（即 $\angle EDC$）就是 $\triangle PDE$ 在 $D$ 的角；同理 $P$ 在 $\overline{BE}$ 上，$\angle E$ 就是 $\triangle PDE$ 在 $E$ 的角。
4. 4

   得到 D 與 E 的和

   在 $\triangle PDE$ 中：$\angle D+\angle E=180°-\angle DPE=180°-(180°-\angle1-\angle2)=\angle1+\angle2$。也就是說，$\angle D+\angle E$ 可以整包換成 $\angle1+\angle2$。
5. 5

   回到大三角形收尾

   在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ABC=\angle B+\angle1$、$\angle ACB=\angle C+\angle2$（射線 $BE$ 在 $\angle ABC$ 內、射線 $CD$ 在 $\angle ACB$ 內）。由內角和：$\angle A+(\angle B+\angle1)+(\angle C+\angle2)=180°$。把 $\angle1+\angle2$ 換成 $\angle D+\angle E$，就得到 $\angle A+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E=180°$。故選 (B)。

關鍵觀念：#三角形內角和 #對頂角 #角度總和