111學年鷺江國中第2次段考數學 第7題 詳解

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逐步解析

1. 1

   把中垂線給的等式寫出來

   $\overleftrightarrow{CD}$ 是 $\overline{AB}$ 的中垂線，交 $\overline{AB}$ 於 $D$。中垂線只保證兩件事：第一，$D$ 是 $\overline{AB}$ 的中點，所以 $\overline{AD}=\overline{BD}$；第二，中垂線上的點到線段兩端等距，$C$ 在中垂線上，所以 $\overline{CA}=\overline{CB}$。
2. 2

   判斷一個圓過不過某點的方法

   以某點為圓心畫圓，這個圓會通過另一點，條件就是「圓心到那個點的距離等於半徑」。所以每個選項都改寫成「哪兩段要相等」再對照上一步。
3. 3

   檢查 (A) 與 (B)

   (A)：圓心 $C$、半徑 $\overline{BC}$，要過 $A$ 就需要 $\overline{CA}=\overline{CB}$，這正是中垂線給的，成立。(B)：圓心 $D$、半徑 $\overline{AD}$，要過 $B$ 就需要 $\overline{DB}=\overline{DA}$，這是 $D$ 為中點給的，成立。
4. 4

   檢查 (D)

   (D)：圓心 $B$、半徑 $\overline{AC}$，要過 $C$ 就需要 $\overline{BC}=\overline{AC}$。由第一步 $\overline{CA}=\overline{CB}$，正是同一件事，成立。它只是把圓心和半徑寫在不同字母上，看起來跳，其實沒問題。
5. 5

   檢查 (C) 並下結論

   (C)：圓心 $A$、半徑 $\overline{AB}$，要過 $C$ 就需要 $\overline{AC}=\overline{AB}$。但 $C$ 只是中垂線上任意一點，$C$ 往上移一點 $\overline{AC}$ 就變長、往下移就變短，中垂線完全沒有規定 $\overline{AC}$ 要等於 $\overline{AB}$，圖上的 $C$ 也顯然不滿足。所以「必過」是錯的。故選 (C)。

關鍵觀念：#中垂線性質 #圓的定義

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