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111學年鷺江國中第2次段考數學 第11題 詳解

尺規作圖多次平分線段長度比 · 單選 · 題目出處：111 學年度第 2 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
已知AB‾\overline{AB}，右圖為小軒利用尺規作圖作中垂線的痕跡，分別與AB‾\overline{AB}交於CC、DD、EE、FF四點，則DF‾:AB‾=\overline{DF}:\overline{AB}=？
(A) 1:21:2
(B) 3:83:8
(C) 2:52:5
(D) 4:94:9
一條水平線段，左端點 $A$、右端點 $B$；線段上由左至右依序標出 $D$、$C$、$F$、$E$ 四個點；在 $D$、$C$、$F$、$E$ 上方及下方各畫有以該點為中心的橢圓形尺規作圖弧線痕跡（$C$ 處的弧線最長、貫穿上下範圍最大，$F$ 處的弧線最短）。

答案(B)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    用弧的大小判斷作圖順序

    尺規作中垂線時，圓規張開得越大，代表被平分的線段越長。圖上 CC 處的弧最大、DD 與 EE 次之、FF 最小，所以順序是：先作 AB‾\overline{AB} 的中垂線得到 CC，再作 AC‾\overline{AC} 的中垂線得到 DD、作 CB‾\overline{CB} 的中垂線得到 EE，最後作 CE‾\overline{CE} 的中垂線得到 FF。
  2. 2

    設一個好算的長度

    因為要連續對半分三次，把 AB‾\overline{AB} 設成 88 最好算。CC 是 AB‾\overline{AB} 的中點：AC‾=CB‾=4\overline{AC}=\overline{CB}=4。
  3. 3

    把四個點的位置都標出來

    以 AA 為 00：CC 在 44。DD 是 AC‾\overline{AC} 的中點，在 22。EE 是 CB‾\overline{CB} 的中點，在 4+2=64+2=6。FF 是 CE‾\overline{CE} 的中點，在 44 與 66 的中間，也就是 55。由左到右依序是 D(2)D(2)、C(4)C(4)、F(5)F(5)、E(6)E(6)，和圖上標的順序完全吻合。
  4. 4

    算出比值

    DF‾=5−2=3\overline{DF}=5-2=3，AB‾=8\overline{AB}=8，所以 DF‾:AB‾=3:8\overline{DF}:\overline{AB}=3:8。故選 (B)。
答案
(B)

關鍵觀念：#中垂線作圖 #線段比

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常見卡點
這題的關鍵是讀懂作圖順序：弧越大代表那一次平分的線段越長，所以 CC 一定是第一刀（平分整條 AB‾\overline{AB}），FF 是最後一刀（平分最短的 CE‾\overline{CE}）。最常見的錯是看到線段上有 DD、CC、FF、EE 四個點，就直覺認為它們把 AB‾\overline{AB} 分成五等分，算出 DF‾:AB‾=2:5\overline{DF}:\overline{AB}=2:5 而選 (C)。實際上刻度是八等分，DD 在 22、FF 在 55，差 33 格。

還是卡住嗎？

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