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111學年鷺江國中第3次段考數學 第24題 詳解

菱形與內接正方形面積求邊長 · 填充 · 題目出處：111 學年度第 2 學期第 3 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如（圖十三），已知菱形ABCDABCD的面積為120120且正方形AECFAECF的面積為5050，則AB‾=\overline{AB}=____(8)____(4-3)
（圖十三）外層是菱形 $ABCD$：$A$ 在最上、$C$ 在最下（$\overline{AC}$ 是鉛直對角線）、$B$ 在最左、$D$ 在最右（$\overline{BD}$ 是水平對角線）。 內層是正方形 $AECF$，四頂點依序 $A\to E\to C\to F$。關鍵：$E$ 與 $F$ 落在菱形的水平對角線 $\overline{BD}$ 上（$E$ 在 $B$ 與中心之間、$F$ 在中心與 $D$ 之間；$E$、$F$ 與 $B$、$D$ 都落在同一條水平線上）。也就是說，正方形 $AECF$ 的兩條對角線就是 $\overline{AC}$ 與 $\overline{EF}$，分別落在菱形的鉛直與水平對角線上，兩者互相垂直平分於同一個中心。$E$、$F$ 都在菱形內部，不在 $\overline{AB}$、$\overline{AD}$ 這些邊上。
圖十三

答案1313看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    看出正方形的兩條對角線

    正方形 AECFAECF 的四個頂點依序是 AA、EE、CC、FF，所以它的兩條對角線是 AC‾\overline{AC} 與 EF‾\overline{EF}。這兩條正好躺在菱形的兩條對角線上，互相垂直平分且等長。
  2. 2

    由正方形面積求 AC‾\overline{AC}

    正方形也是菱形，面積 =12×=\frac{1}{2}\times 兩對角線之積。設對角線長 dd，則 12d2=50\frac{1}{2}d^2=50，d2=100d^2=100，d=10d=10。所以 AC‾=10\overline{AC}=10。
  3. 3

    由菱形面積求 BD‾\overline{BD}

    菱形面積 =12×AC‾×BD‾=\frac{1}{2}\times\overline{AC}\times\overline{BD}，代入 12×10×BD‾=120\frac{1}{2}\times10\times\overline{BD}=120，得 BD‾=24\overline{BD}=24。
  4. 4

    切出直角三角形

    設兩對角線交於 OO。菱形的對角線互相垂直平分，所以 AO‾=102=5\overline{AO}=\frac{10}{2}=5、BO‾=242=12\overline{BO}=\frac{24}{2}=12，且 ∠AOB=90°\angle AOB=90°。
  5. 5

    用畢氏定理求邊長

    在直角三角形 AOBAOB 中，AB‾=52+122=25+144=169=13\overline{AB}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13。空格 (8) 填 1313。
答案
1313

關鍵觀念：#菱形面積 #正方形面積 #畢氏定理

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常見卡點
算出 AC‾=10\overline{AC}=10、BD‾=24\overline{BD}=24 之後，直接把整條對角線代進畢氏定理寫成 102+242=26\sqrt{10^2+24^2}=26，那其實是 AB‾\overline{AB} 的兩倍。對角線要先各砍一半，55 與 1212 才是直角三角形的兩股。

還是卡住嗎？

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