112學年鷺江國中第2次段考數學 第10題 詳解

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逐步解析

1. 1

   把第一個垂直寫成角

   $\overline{EC}\perp\overline{AB}$ 表示 $\angle ACE=90^\circ$。從圖上看，$\angle ACE$ 是由 $\angle 1$ 和 $\angle 4$ 拼起來的，所以 $\angle 1+\angle 4=90^\circ$；同理右半邊 $\angle ECB=90^\circ$ 是由 $\angle 3$ 和 $\angle 2$ 拼成，所以 $\angle 3+\angle 2=90^\circ$。
2. 2

   把第二個垂直寫成角

   $\overline{DC}\perp\overline{CF}$ 表示 $\angle DCF=90^\circ$，而 $\angle DCF$ 正好是 $\angle 4$ 和 $\angle 3$ 拼成的，所以 $\angle 4+\angle 3=90^\circ$。
3. 3

   檢查前兩個敘述

   由 $\angle 1+\angle 4=90^\circ$ 得 $\angle 1=90^\circ-\angle 4$，由 $\angle 4+\angle 3=90^\circ$ 得 $\angle 3=90^\circ-\angle 4$。兩者都是 $\angle 4$ 的餘角，同一個角的餘角只有一個大小，所以 $\angle 1=\angle 3$，第一個敘述成立。同樣地 $\angle 2=90^\circ-\angle 3$、$\angle 4=90^\circ-\angle 3$，兩者都是 $\angle 3$ 的餘角，所以 $\angle 2=\angle 4$，第二個敘述也成立。
4. 4

   檢查最後一個敘述

   $\angle 1+\angle 2=(90^\circ-\angle 4)+(90^\circ-\angle 3)=180^\circ-(\angle 4+\angle 3)=180^\circ-90^\circ=90^\circ$，所以 $\angle 1+\angle 2=90^\circ$ 也是對的，雖然這兩個角分別在圖的左右兩端，看起來毫無關係。
5. 5

   找出不成立的那一句

   既然 $\angle 1=\angle 3$，那麼 $\angle 1+\angle 3=2\angle 3$，只有在 $\angle 3=45^\circ$ 時才剛好等於 $90^\circ$，一般情況並不成立。舉個反例：取 $\angle 4=60^\circ$，則 $\angle 1=30^\circ$、$\angle 3=30^\circ$、$\angle 2=60^\circ$，四個角加起來 $30^\circ+60^\circ+30^\circ+60^\circ=180^\circ$ 剛好是平角，符合圖形；此時 $\angle 1+\angle 3=60^\circ\neq 90^\circ$。故選 (C)。

關鍵觀念：#角度關係 #垂直 #餘角