112學年鷺江國中第2次段考數學 第13題 詳解

答案(1) $-2$ (2) $7$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   先寫出兩個距離

   點到 $x$ 軸的距離是往上下量的，看 $y$ 坐標的絕對值；點到 $y$ 軸的距離是往左右量的，看 $x$ 坐標的絕對值。所以 $P$ 到 $x$ 軸的距離是 $|7a+8|$，到 $y$ 軸的距離是 $|6a+9|$。
2. 2

   用第三象限拆開絕對值

   $P$ 在第三象限，表示 $6a+9<0$ 且 $7a+8<0$，兩個坐標都是負的。負數取絕對值要加上負號，所以 $|7a+8|=-(7a+8)$、$|6a+9|=-(6a+9)$。
3. 3

   列式解出 a

   「到 $x$ 軸的距離是到 $y$ 軸距離的 $2$ 倍」列成 $-(7a+8)=2\times\left[-(6a+9)\right]$。左邊是 $-7a-8$，右邊是 $-12a-18$，移項得 $-7a+12a=-18+8$，即 $5a=-10$，所以 $a=-2$。
4. 4

   代回檢查

   把 $a=-2$ 代回：$6\times(-2)+9=-12+9=-3$，$7\times(-2)+8=-14+8=-6$，所以 $P(-3,-6)$，兩個坐標都是負的，確實在第三象限；到 $x$ 軸距離是 $6$、到 $y$ 軸距離是 $3$，$6$ 正好是 $3$ 的 $2$ 倍，所有條件都吻合。
5. 5

   求 P 到 Q 的距離

   $P(-3,-6)$ 與 $Q(-3,1)$ 的 $x$ 坐標都是 $-3$，兩點落在同一條鉛直線上，距離就是兩個 $y$ 坐標之間的差：$1-(-6)=7$。所以 $a=-2$、$P$ 到 $Q$ 的距離是 $7$。

關鍵觀念：#象限條件 #絕對值方程式