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112學年鷺江國中第2次段考數學 第10題 詳解

四邊形路徑轉角與內角計算 · 填充 · 題目出處：112 學年度第 2 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

答案共轉 280280 度，∠AOC=110\angle AOC=110 度看逐步解析 ↓

題目
如(圖九)，∠B=60°\angle B=60°，∠BAO=30°\angle BAO=30°，∠BCO=20°\angle BCO=20°，則由 AA 點經 BB、CC 兩點到 OO 點，共轉了____度，∠AOC=\angle AOC=____度。
四邊形ABOC（非凸四邊形）：A在最上方，B在左下角，C在右下角，O在A的正下方、BC線段的上方（介於A與BC之間，使整體呈現上方尖角旁被切出一個小凹角的四邊形）。邊為A-B（左側）、B-C（底邊）、C-O（右上）、O-A（左上，短邊）。

逐步解析

  1. 1

    轉的角度就是外角

    沿著 A→B→C→OA\to B\to C\to O 走，只有在 BB 和 CC 兩處會轉彎。在一個轉折點轉過的角度，等於 180°180° 減掉該處路徑所夾的內角，也就是那個頂點的外角。
  2. 2

    分別算兩次轉角

    在 BB 轉了 180°−∠B=180°−60°=120°180°-\angle B=180°-60°=120°；在 CC 轉了 180°−∠BCO=180°−20°=160°180°-\angle BCO=180°-20°=160°。兩次合計 120°+160°=280°120°+160°=280°，所以第一格填 280280。
  3. 3

    用四邊形內角和

    四邊形 ABOCABOC 的四個內角和是 360°360°。已知 ∠OAB=30°\angle OAB=30°、∠B=60°\angle B=60°、∠BCO=20°\angle BCO=20°，所以 OO 這個頂點的內角是 360°−30°−60°−20°=250°360°-30°-60°-20°=250°。
  4. 4

    取出 ∠AOC

    由圖可知 OO 向內凹進四邊形，上一步算出的 250°250° 是繞過 OO 的那個優角，題目問的 ∠AOC\angle AOC 是另一側：∠AOC=360°−250°=110°\angle AOC=360°-250°=110°，所以第二格填 110110。
  5. 5

    換個算法驗算

    這種「飛鏢形」還有一個快速關係：凹進去的頂點所對的那個角，等於另外三個角的和。∠AOC=∠OAB+∠B+∠BCO=30°+60°+20°=110°\angle AOC=\angle OAB+\angle B+\angle BCO=30°+60°+20°=110°，與上面算出來的一致。
答案
共轉 280280 度，∠AOC=110\angle AOC=110 度

關鍵觀念：#外角定理 #四邊形內角和 #轉角

常見卡點
兩個空格的常見錯誤剛好相反。第一格有人把「共轉的角度」寫成兩個內角相加 60°+20°=80°60°+20°=80°——走路時轉的是外角，每個轉折點都要先用 180°180° 減一次。第二格則常算到 250°250° 就停手，那是 OO 點凹進去對應的優角，不是 ∠AOC\angle AOC。動筆前先看清 OO 是凸是凹。

還是卡住嗎？

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