112學年鷺江國中第2次段考數學 第21題 詳解

逐步解析

1. 1

   把 1:3 換成四等分

   $\overline{AM}:\overline{MB}=1:3$ 表示整條 $\overline{AB}$ 被分成 $1+3=4$ 份，$\overline{AM}$ 佔其中 $1$ 份，也就是 $\overline{AM}=\dfrac{1}{4}\overline{AB}$。尺規作圖沒有一步到位的四等分，但可以連續取兩次中點：一次得 $\dfrac{1}{2}$，兩次就得 $\dfrac{1}{4}$。
2. 2

   先作 AB 的中點

   分別以 $A$、$B$ 為圓心，同一個大於 $\dfrac{1}{2}\overline{AB}$ 的長度為半徑畫弧，兩組弧在 $\overline{AB}$ 的上方與下方各交於一點。連接這兩個交點，所得直線就是 $\overline{AB}$ 的中垂線，它與 $\overline{AB}$ 的交點即為中點 $N$，此時 $\overline{AN}=\dfrac{1}{2}\overline{AB}$。
3. 3

   再作 AN 的中點

   用同樣的方法，分別以 $A$、$N$ 為圓心，同一個大於 $\dfrac{1}{2}\overline{AN}$ 的長度為半徑畫弧，作出 $\overline{AN}$ 的中垂線，它與 $\overline{AN}$ 的交點就是 $M$。此時 $\overline{AM}=\dfrac{1}{2}\overline{AN}=\dfrac{1}{4}\overline{AB}$。
4. 4

   驗證比例並保留痕跡

   $\overline{AM}=\dfrac{1}{4}\overline{AB}$，$\overline{MB}=\overline{AB}-\overline{AM}=\dfrac{3}{4}\overline{AB}$，所以 $\overline{AM}:\overline{MB}=\dfrac{1}{4}:\dfrac{3}{4}=1:3$，$M$ 正是所求的點。作圖過程用到的所有弧線都要保留，不可擦除，否則不予計分。

關鍵觀念：#尺規作圖 #線段等分 #比例