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112學年鷺江國中第2次段考數學 第18題 詳解

由中垂線與角平分線求角度 · 填充 · 題目出處：112 學年度第 2 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如(圖十五)，△ABC\triangle ABC 中，DD、EE 兩點分別在 AC‾\overline{AC}、BC‾\overline{BC} 上，DE‾\overline{DE} 垂直平分 BC‾\overline{BC}，BD‾\overline{BD} 平分 ∠ADE\angle ADE，若 ∠A=57°\angle A=57°，則 ∠ABD\angle ABD 的度數為=____度。
三角形ABC，A頂點在上，B在左下，C在右下。D在AC邊上（A、C之間），E在BC邊上（B、C之間，大致在D的正下方）。另畫出線段BD與線段DE。

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逐步解析

  1. 1

    中垂線造出等腰

    DE‾\overline{DE} 垂直平分 BC‾\overline{BC}，中垂線上的點到線段兩端等距離，所以 DB‾=DC‾\overline{DB}=\overline{DC}，△DBC\triangle DBC 是等腰三角形。設 ∠C=x\angle C=x，則 ∠DBC=∠C=x\angle DBC=\angle C=x。
  2. 2

    對折得兩個等角

    在直角三角形 DECDEC 中（直角在 EE），∠CDE=90°−x\angle CDE=90°-x。又 △DBE\triangle DBE 與 △DCE\triangle DCE 全等（BE‾=EC‾\overline{BE}=\overline{EC}、DE‾=DE‾\overline{DE}=\overline{DE}、兩個夾角都是 90°90°），所以 ∠BDE=∠CDE=90°−x\angle BDE=\angle CDE=90°-x。
  3. 3

    用角平分線得 ∠ADB

    BD‾\overline{BD} 平分 ∠ADE\angle ADE，所以 ∠ADB=∠BDE=90°−x\angle ADB=\angle BDE=90°-x。
  4. 4

    用平角解出 x

    AA、DD、CC 在同一直線上，∠ADB+∠BDE+∠EDC=180°\angle ADB+\angle BDE+\angle EDC=180°，即 (90°−x)+(90°−x)+(90°−x)=180°(90°-x)+(90°-x)+(90°-x)=180°。整理得 3(90°−x)=180°3(90°-x)=180°，所以 90°−x=60°90°-x=60°，x=30°x=30°。
  5. 5

    回到 △ABD

    由上一步 ∠ADB=90°−30°=60°\angle ADB=90°-30°=60°。在 △ABD\triangle ABD 中，∠A=57°\angle A=57°、∠ADB=60°\angle ADB=60°，所以 ∠ABD=180°−57°−60°=63°\angle ABD=180°-57°-60°=63°。
答案
6363

關鍵觀念：#中垂線 #角平分線 #角度計算

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常見卡點
「BD‾\overline{BD} 平分 ∠ADE\angle ADE」這句最容易被讀成「平分 ∠ADC\angle ADC」。AA、DD、CC 共線，∠ADC\angle ADC 是平角，平分它毫無意義；它真正的作用是讓 ∠ADB=∠BDE\angle ADB=\angle BDE。配上中垂線給的 ∠BDE=∠CDE\angle BDE=\angle CDE，三個角恰好把平角三等分，各是 60°60°。別一開始就在 △ABD\triangle ABD 裡硬湊，那裡只有一個已知角。

還是卡住嗎？

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