112學年鷺江國中第2次段考數學 第19題 詳解

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逐步解析

1. 1

   從中垂線讀出三件事

   直線 $L$ 垂直平分 $\overline{BC}$，$P$ 在 $L$ 上，所以 $\overline{PB}=\overline{PC}=5$；同時 $D$ 是 $\overline{BC}$ 的中點，且 $\overline{PD}\perp\overline{BC}$。
2. 2

   在 △PAC 求出 PA

   $P$ 落在 $\overline{AB}$ 上，而 $\angle A=\angle BAC=90°$，所以 $\angle PAC$ 也是 $90°$。$\triangle PAC$ 是直角三角形，由畢氏定理 $\overline{PA}=\sqrt{\overline{PC}^2-\overline{AC}^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=3$。
3. 3

   求出 BC 與 DC

   $\overline{AB}=\overline{AP}+\overline{PB}=3+5=8$。$\triangle ABC$ 在 $A$ 點是直角，$\overline{BC}=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$，所以 $\overline{DC}=\dfrac{1}{2}\overline{BC}=2\sqrt{5}$。
4. 4

   求出 PD

   $\triangle PDC$ 在 $D$ 點是直角，由畢氏定理 $\overline{PD}=\sqrt{\overline{PC}^2-\overline{DC}^2}=\sqrt{5^2-(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{25-20}=\sqrt{5}$。
5. 5

   切成兩塊算面積

   連 $\overline{PC}$ 把四邊形 $PDCA$ 分成 $\triangle PDC$ 與 $\triangle PCA$。$\triangle PDC$ 面積 $=\dfrac{1}{2}\times\overline{DC}\times\overline{PD}=\dfrac{1}{2}\times2\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5$；$\triangle PCA$ 面積 $=\dfrac{1}{2}\times\overline{PA}\times\overline{AC}=\dfrac{1}{2}\times3\times4=6$。合計 $5+6=11$。
6. 6

   換個算法驗算

   也可以用扣除法：$\triangle ABC$ 面積 $=\dfrac{1}{2}\times8\times4=16$；因為 $D$ 是中點且 $\overline{PD}\perp\overline{BC}$，$\triangle PBD$ 與 $\triangle PCD$ 全等，面積同為 $5$。四邊形 $PDCA$ 面積 $=16-5=11$，結果一致。

關鍵觀念：#中垂線 #三角形全等 #四邊形面積

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