112學年鷺江國中第2次段考數學 第22題 詳解

逐步解析

1. 1

   先把摺過去的那一半標好

   沿 $\overline{AC}$ 對摺後，$\triangle ACE$ 就是 $\triangle ACD$ 翻過來的樣子，兩者全等，所以 $\angle E=\angle D=90°$、$\overline{CE}=\overline{CD}$、$\overline{AE}=\overline{AD}$。這是摺紙題永遠的第一步。
2. 2

   填出三個空格

   第一格：$\angle B=\angle E=90°$（長方形的角與摺後的角都是直角）。第二格：$P$ 同時在 $\overline{AE}$ 與 $\overline{BC}$ 上，$\angle APB$ 與 $\angle CPE$ 是對頂角，所以 $\angle APB=\angle CPE$。第三格：長方形對邊相等 $\overline{AB}=\overline{CD}$，而摺疊給出 $\overline{CD}=\overline{CE}$，所以 $\overline{AB}=\overline{CE}$。
3. 3

   說明用的是哪一種全等性質

   這三個條件是「兩組角相等加一組邊相等」，而且相等的那組邊 $\overline{AB}$、$\overline{CE}$ 分別是 $\angle APB$、$\angle CPE$ 的對邊，並沒有夾在兩個角中間，所以用的是 AAS 全等性質，得 $\triangle ABP\cong\triangle CEP$。
4. 4

   設未知數列關係

   長方形中 $\overline{BC}=\overline{AD}=2$、$\overline{CD}=\overline{AB}=1$，摺疊後 $\overline{AE}=\overline{AD}=2$。設 $\overline{AP}=x$，則 $\overline{PE}=\overline{AE}-\overline{AP}=2-x$。由 $\triangle ABP\cong\triangle CEP$ 得 $\overline{BP}=\overline{EP}=2-x$。
5. 5

   用畢氏定理列式並解出

   $\triangle ABP$ 中 $\angle B=90°$，由畢氏定理 $\overline{AB}^2+\overline{BP}^2=\overline{AP}^2$，即 $1^2+(2-x)^2=x^2$。展開得 $1+4-4x+x^2=x^2$，化簡得 $5-4x=0$，所以 $x=\dfrac{5}{4}$，即 $\overline{AP}=\dfrac{5}{4}$。
6. 6

   代回檢查

   $\overline{BP}=2-\dfrac{5}{4}=\dfrac{3}{4}$，檢查 $\left(\dfrac{3}{4}\right)^2+1^2=\dfrac{9}{16}+\dfrac{16}{16}=\dfrac{25}{16}=\left(\dfrac{5}{4}\right)^2$，確實成立，所以 $\overline{AP}=\dfrac{5}{4}$。

關鍵觀念：#三角形全等 #摺疊 #畢氏定理

同主題一起複習：平面幾何 →