112學年鷺江國中第2學期第3次段考數學 第24題 詳解

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逐步解析

1. 1

   設出原有藏書

   甲、乙原有藏書的數量比為 $4:3$，可設甲有 $4k$ 本、乙有 $3k$ 本（$k$ 是正數）。
2. 2

   把添購後的情形列成比例式

   兩館各添購「相同數量」$n$ 本，添購後甲有 $4k+n$ 本、乙有 $3k+n$ 本，依題意 $(4k+n):(3k+n)=11:9$。
3. 3

   解出 n 與 k 的關係

   比例式的內項乘積等於外項乘積：$9(4k+n)=11(3k+n)$，展開得 $36k+9n=33k+11n$，移項得 $3k=2n$，也就是 $n=\frac{3k}{2}$。
4. 4

   算出兩個總和

   兩館添購的新書總和是 $n+n=2n=3k$ 本；原有藏書總和是 $4k+3k=7k$ 本。
5. 5

   求比值並驗算

   比值為 $\frac{3k}{7k}=\frac{3}{7}$。取 $k=2$ 驗算：原有甲 $8$ 本、乙 $6$ 本，各添購 $n=3$ 本後變成 $11$ 本與 $9$ 本，比正是 $11:9$；新書總和 $6$ 本、原有總和 $14$ 本，$\frac{6}{14}=\frac{3}{7}$，完全吻合。
6. 6

   看誘答在哪

   題目問的是「添購的新書總和」與「原有藏書總和」的比值，分母應該是原有的 $7k$。若把分母誤看成添購後的總藏書量 $7k+3k=10k$，會算出 $\frac{3k}{10k}=\frac{3}{10}$，落在 (C)。讀題時要看清楚比的是「原有」還是「添購後」。
7. 7

   下結論

   添購新書總和與原有藏書總和的比值為 $\frac{3}{7}$，故選 (A)。

關鍵觀念：#比與比例式 #應用問題

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