113學年福和國中第1學期第2次段考數學 第21題 詳解

答案$2\sqrt{3}+\sqrt{6}$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   分子分母同乘共軛

   分母是 $\sqrt{2}-1$，乘上共軛 $\sqrt{2}+1$ 才會變成有理數。分子分母要一起乘（等於乘以 1，值不變）：$\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}-1}=\dfrac{\sqrt{6}(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}$。
2. 2

   分母用平方差

   $(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)=(\sqrt{2})^{2}-1^{2}=2-1=1$。分母剛好變成 1。
3. 3

   分子展開並化簡

   $\sqrt{6}(\sqrt{2}+1)=\sqrt{6}\times\sqrt{2}+\sqrt{6}=\sqrt{12}+\sqrt{6}$，而 $\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3}$，所以分子 $=2\sqrt{3}+\sqrt{6}$。
4. 4

   寫出最簡結果

   原式 $=\dfrac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{1}=2\sqrt{3}+\sqrt{6}$。3 與 6 都沒有平方因數，兩項又不是同類方根，不能再合併。

關鍵觀念：#根式運算 #分母有理化