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113學年福和國中第1學期第2次段考數學 第17題 詳解

坐標平面上直角三角形周長〔2-3〕 · 單選 · 題目出處：113 學年度第 1 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立福和國民中學）

題目
坐標平面上有一直角 △ABC\triangle ABC，其中 ∠B=90°\angle B=90°，且 AA、BB 兩點的坐標分別是 (1,2)(1,2)、(6,14)(6,14)。若 △ABC\triangle ABC 的三邊長皆為整數，則 △ABC\triangle ABC 之周長為何？〔2-3〕
(A) 3030
(B) 3939
(C) 182182
(D) 191191

答案(C)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    先算出 AB

    A(1,2)A(1,2)、B(6,14)B(6,14)，AB‾=(6−1)2+(14−2)2=52+122=25+144=169=13\overline{AB}=\sqrt{(6-1)^{2}+(14-2)^{2}}=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13。
  2. 2

    確認 13 是股不是斜邊

    直角在 BB，夾住直角的兩邊 AB‾\overline{AB} 與 BC‾\overline{BC} 才是兩股，對著直角的 AC‾\overline{AC} 才是斜邊。所以 13 是一個股。
  3. 3

    找出整數的另外兩邊

    設 BC‾=m\overline{BC}=m、AC‾=n\overline{AC}=n，由畢氏定理 132+m2=n213^{2}+m^{2}=n^{2}，移項得 n2−m2=169n^{2}-m^{2}=169，即 (n+m)(n−m)=169(n+m)(n-m)=169。169169 只能拆成 13×1313\times13 或 169×1169\times1。若 n+m=13n+m=13 且 n−m=13n-m=13，得 m=0m=0 不合；取 n+m=169n+m=169、n−m=1n-m=1，解得 n=85n=85、m=84m=84。
  4. 4

    算周長

    三邊為 13、84、85，周長 =13+84+85=182=13+84+85=182，故選 (C)。
答案
(C)

關鍵觀念：#坐標平面 #畢氏定理

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常見卡點
最常見的錯是看到 13 就直接套 5-12-13，把 13 當成斜邊而得周長 30，落到 (A)。但直角在 BB，AB‾\overline{AB} 是股不是斜邊，整數解要從 (n+m)(n−m)=169(n+m)(n-m)=169 去找，得到 13、84、85。做這類題一定先確認直角頂點在哪個字母上，再決定誰是斜邊，順序不能顛倒。

還是卡住嗎？

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