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113學年福和國中第1學期第2次段考數學 第5題 詳解

根式代入求值〔2-2〕 · 單選 · 題目出處：113 學年度第 1 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立福和國民中學）

題目
若 a=3−5a=3-\sqrt{5}，則 (3−a)(a+3)=(3-a)(a+3)=？〔2-2〕
(A) 65−56\sqrt{5}-5
(B) 14−6514-6\sqrt{5}
(C) 44
(D) −2-2

答案(A)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    先整理算式再代入

    (3−a)(a+3)=(3−a)(3+a)=32−a2=9−a2(3-a)(a+3)=(3-a)(3+a)=3^{2}-a^{2}=9-a^{2}。這是平方差的形式，先整理再代入會比直接把 aa 乘開安全得多。
  2. 2

    算出 a 的平方

    a=3−5a=3-\sqrt{5}，a2=(3−5)2=32−2×3×5+(5)2=9−65+5=14−65a^{2}=(3-\sqrt{5})^{2}=3^{2}-2\times3\times\sqrt{5}+(\sqrt{5})^{2}=9-6\sqrt{5}+5=14-6\sqrt{5}。中間項 −65-6\sqrt{5} 不可以漏。
  3. 3

    代回原式

    9−a2=9−(14−65)=9−14+65=−5+65=65−59-a^{2}=9-(14-6\sqrt{5})=9-14+6\sqrt{5}=-5+6\sqrt{5}=6\sqrt{5}-5，故選 (A)。
答案
(A)

關鍵觀念：#根式運算 #平方差公式

常見卡點
最常見的錯是算完 a2=14−65a^{2}=14-6\sqrt{5} 就停下來選 (B)，忘了題目要的是 9−a29-a^{2}，還得再用 9 去減，而且括號前的負號要分配到兩項。另一個坑是 (3−5)2(3-\sqrt{5})^{2} 漏掉中間項算成 9−5=49-5=4，又停在 a2a^{2} 這一步沒再用 99 去減，兩個錯合起來就會選到 (C)；完全平方一定有 −2×3×5-2\times3\times\sqrt{5} 這一項，不是把兩個平方相減。

還是卡住嗎？

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