113學年鷺江國中第3次段考數學 第10題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先證兩個三角形全等

   在 $\triangle ABD$ 與 $\triangle ACD$ 中：$\overline{AB}=\overline{AC}$（題目給的）、$\angle BAD=\angle CAD$（$\overline{AD}$ 平分 $\angle BAC$）、$\overline{AD}=\overline{AD}$（公共邊）。兩邊夾一角，由 SAS 得 $\triangle ABD \cong \triangle ACD$，所以 (C) 成立。
2. 2

   由全等推出 A 與 B

   由全等可得對應邊 $\overline{BD}=\overline{CD}$，(B) 成立。又對應角 $\angle ADB = \angle ADC$，而 $B$、$D$、$C$ 共線，兩角合起來是平角 $180°$，所以各為 $90°$，即 $\overline{AD}\perp\overline{BC}$，(A) 成立。這就是等腰三角形「頂角平分線、底邊中線、底邊上的高三線合一」。
3. 3

   比較兩個一半的角

   $\overline{AD}$ 平分 $\angle BAC$，所以 $\angle CAD = \dfrac{1}{2}\angle A$；$\overline{BE}$ 平分 $\angle ABC$，所以 $\angle CBE = \dfrac{1}{2}\angle B$。兩者要相等，就得 $\angle A = \angle B$。
4. 4

   舉一個反例

   取 $\angle A = 80°$，則兩底角 $\angle B=\angle C = \dfrac{180°-80°}{2}=50°$。此時 $\angle CAD = 40°$、$\angle CBE = 25°$，兩者不相等。可見 (D) 只有在 $\angle A=\angle B$（三角形成為正三角形）時才成立，並不一定成立，故選 (D)。

關鍵觀念：#等腰三角形 #角平分線

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