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113學年鷺江國中第3次段考數學 第5題 詳解

三邊長內切圓面積 · 單選 · 題目出處：113 學年度第 1 學期第 3 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
II 為 △ABC\triangle ABC 的內心，已知 △ABC\triangle ABC 的面積為 8484 平方單位，且三邊長分別為 1313、1414、1515，則 △ABC\triangle ABC 的內切圓面積為多少平方單位？
(A) 88
(B) 8π8\pi
(C) 1616
(D) 16π16\pi

答案(D)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    內切圓與三塊小三角形

    II 是內心，內切圓的圓心就是 II，半徑 rr 是 II 到三邊的距離。把 II 分別連到 AA、BB、CC，△ABC\triangle ABC 被切成三個小三角形，它們的底分別是三邊，高全都是 rr。
  2. 2

    把面積寫成半徑的式子

    △ABC\triangle ABC 面積 =12×13×r+12×14×r+12×15×r=12r(13+14+15)=12×r×42=21r= \dfrac{1}{2}\times 13\times r + \dfrac{1}{2}\times 14\times r + \dfrac{1}{2}\times 15\times r = \dfrac{1}{2}r(13+14+15) = \dfrac{1}{2}\times r\times 42 = 21r。
  3. 3

    解出半徑

    已知面積是 8484，所以 84=21r84 = 21r，得 r=84÷21=4r = 84 \div 21 = 4。
  4. 4

    算內切圓面積

    圓面積 =πr2=π×42=16π=\pi r^2 = \pi \times 4^2 = 16\pi（平方單位），故選 (D)。
答案
(D)

關鍵觀念：#內心 #內切圓面積

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常見卡點
兩個常見失誤。一是算出 r=4r=4 後忘了乘 π\pi，只寫成 42=164^2=16。二是把圓面積公式和圓周長公式記混，算成 2πr=2π×4=8π2\pi r = 2\pi\times 4 = 8\pi。半徑的求法也要記牢：三角形面積 =12r×(三邊長總和)=\dfrac{1}{2}r\times(\text{三邊長總和})，反過來就是 r=2×8442=4r=\dfrac{2\times 84}{42}=4。最後別忘了題目問的是「圓的面積」，不是半徑也不是直徑。

還是卡住嗎？

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