113學年鷺江國中第3次段考數學 第7題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先把三塊切出來

   $G$ 是重心，連 $\overline{GA}$、$\overline{GB}$、$\overline{GC}$，就把 $\triangle ABC$ 分成 $\triangle AGB$、$\triangle BGC$、$\triangle AGC$ 三塊。要比的是這三塊的面積。
2. 2

   中線兩側等底同高

   設 $M$ 是 $\overline{BC}$ 的中點，$\overline{AM}$ 是一條中線，$G$ 在 $\overline{AM}$ 上。$\triangle ABM$ 與 $\triangle ACM$ 的底 $\overline{BM}=\overline{CM}$、頂點同為 $A$ 所以高相同，面積相等；同理 $\triangle GBM$ 與 $\triangle GCM$ 面積也相等。
3. 3

   相減得到兩塊等積

   $\triangle AGB$ 面積 $=\triangle ABM$ 面積 $-\triangle GBM$ 面積，$\triangle AGC$ 面積 $=\triangle ACM$ 面積 $-\triangle GCM$ 面積。兩個被減數相等、兩個減數也相等，所以 $\triangle AGB$ 與 $\triangle AGC$ 面積相等。
4. 4

   三塊都一樣大

   換成 $\overline{AB}$ 上的中線再做一次同樣的推理，可得 $\triangle AGC$ 與 $\triangle BGC$ 面積相等；配合上一步的 $\triangle AGB=\triangle AGC$，三塊就兩兩相等，所以比值是 $1:1:1$，故選 (D)。
5. 5

   角度根本用不到

   整個過程完全沒有用到 $\angle A=30°$ 與 $\angle B=60°$。不論三角形長什麼樣子，重心永遠把三角形分成三個等面積的小三角形，這是重心最好用的性質之一。

關鍵觀念：#重心 #面積比

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