113學年鷺江國中第3次段考數學 第8題 詳解

答案(A)看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   從等距離看出外心

   圖中 $M$ 在 $\overline{AB}$ 上，且 $\overline{AM}=\overline{BM}=\overline{CM}=5$。$M$ 到 $A$、$B$、$C$ 三個頂點的距離相等，所以 $M$ 就是 $\triangle ABC$ 的外心，$\overline{AB}$ 是外接圓的直徑。
2. 2

   推出直角

   $\triangle AMC$ 中 $\overline{AM}=\overline{CM}$，所以 $\angle MAC=\angle MCA$；$\triangle BMC$ 中 $\overline{BM}=\overline{CM}$，所以 $\angle MBC=\angle MCB$。這四個角的和是 $\triangle ABC$ 的內角和 $180°$，而 $\angle ACB=\angle MCA+\angle MCB$ 正好是其中的一半，所以 $\angle ACB = 90°$。
3. 3

   用畢氏定理求 AC

   $\overline{AB} = \overline{AM}+\overline{BM} = 5+5 = 10$。直角在 $C$，所以 $\overline{AC}^2 + \overline{BC}^2 = \overline{AB}^2$，即 $\overline{AC}^2 + 6^2 = 10^2$，$\overline{AC}^2 = 100-36 = 64$，$\overline{AC} = 8$。
4. 4

   算面積

   直角在 $C$，兩股就是 $\overline{AC}=8$ 與 $\overline{BC}=6$，面積 $=\dfrac{1}{2}\times 8\times 6 = 24$，故選 (A)。

關鍵觀念：#外心 #三角形面積

同主題一起複習：平面幾何 →