113學年鷺江國中第2學期第3次段考數學 第5題 詳解

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逐步解析

1. 1

   檢查比例式的方法

   要判斷 $a:b=c:d$ 成不成立，就交叉相乘看 $ad=bc$ 是否成立。這題還有一個關鍵條件：$a$、$b$、$c$ 是「互不相同」的正整數，所以任何推導出 $a=b$ 的選項都不成立。
2. 2

   檢查 (A)

   $a:b=(a+c):(b+c)$ 交叉相乘得 $a(b+c)=b(a+c)$，展開是 $ab+ac=ab+bc$，兩邊消去 $ab$ 得 $ac=bc$，再同除以 $c$（正整數不為 $0$）得 $a=b$，與「互不相同」矛盾。代數字確認：取 $a=1$、$b=2$、$c=3$，左邊 $1:2=\dfrac{1}{2}$，右邊 $4:5=\dfrac{4}{5}$，確實不相等。
3. 3

   檢查 (B) 與 (D)

   (B) 交叉相乘得 $a(b+2c)=b(a+2c)$，展開消去 $ab$ 後是 $2ac=2bc$，同樣推出 $a=b$，不成立。(D) 交叉相乘得 $a(b+2a)=b(a+2b)$，展開是 $ab+2a^2=ab+2b^2$，消去 $ab$ 得 $a^2=b^2$，在正整數範圍內就是 $a=b$，也不成立。
4. 4

   檢查 (C) 並下結論

   $(a+a):(b+b)=2a:2b$，前項與後項都變成原來的 $2$ 倍。比的前項、後項同乘一個不為 $0$ 的數，比值不變，所以 $2a:2b=a:b$ 對任何正整數都成立。故選 (C)。

關鍵觀念：#比與比例式 #比例基本性質

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