114學年鷺江國中第1次段考數學 第12題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先看圖上兩組平行線各在哪裡

   圖(一)中，$\overline{AB}$ 上由上而下依序是 $A$、$F$、$D$、$B$，$E$ 在 $\overline{AC}$ 上。$\overline{EF}\parallel\overline{CD}$ 這組平行線切在 $\triangle ADC$ 裡面；$\overline{DE}\parallel\overline{BC}$ 這組平行線切在 $\triangle ABC$ 裡面。兩組要分開用。
2. 2

   先用小三角形算出 AC 上的比

   在 $\triangle ADC$ 中，$F$ 在 $\overline{AD}$ 上、$E$ 在 $\overline{AC}$ 上，且 $\overline{EF}\parallel\overline{CD}$。由平行線截線段成比例得 $\overline{AF}:\overline{FD}=\overline{AE}:\overline{EC}$，代入 $3:6=1:2$，所以 $\overline{AE}:\overline{EC}=1:2$。
3. 3

   再用大三角形換回 AB 上的比

   在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 在 $\overline{AB}$ 上、$E$ 在 $\overline{AC}$ 上，且 $\overline{DE}\parallel\overline{BC}$，所以 $\overline{AD}:\overline{DB}=\overline{AE}:\overline{EC}=1:2$。
4. 4

   補出 AD 再求 BD

   $\overline{AD}=\overline{AF}+\overline{FD}=3+6=9$。代入 $\overline{AD}:\overline{DB}=1:2$，得 $9:\overline{DB}=1:2$，交叉相乘得 $\overline{DB}=18$。
5. 5

   寫出答案

   $\overline{BD}=18$。整條 $\overline{AB}=9+18=27$，檢查 $\overline{AD}:\overline{AB}=9:27=1:3$，和 $\overline{AF}:\overline{AD}=3:9=1:3$ 一致，兩層相似的比相同，合理。

關鍵觀念：#平行線截線段成比例 #相似三角形