114學年鷺江國中第1次段考數學 第14題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先把圖切成兩個三角形

   圖(三)中 $D$ 在 $\overline{AB}$ 上，$\overline{DC}$ 把 $\triangle ABC$ 切成 $\triangle BDC$ 和 $\triangle ADC$。題目給的等角 $\angle BDC=\angle ACB$ 一個在小三角形 $\triangle BDC$ 裡、一個在大三角形 $\triangle BCA$ 裡，所以要比的是這兩個三角形。
2. 2

   用 AA 判相似

   $\angle B$ 是 $\triangle BDC$ 和 $\triangle BCA$ 共用的角；題目又給 $\angle BDC=\angle BCA$。兩組對應角相等，由 AA 得 $\triangle BDC\sim\triangle BCA$。
3. 3

   照角的順序配對應邊

   由 $\angle B$ 對 $\angle B$、$\angle BDC$ 對 $\angle BCA$、$\angle BCD$ 對 $\angle BAC$，得對應關係 $B$ 對 $B$、$D$ 對 $C$、$C$ 對 $A$。因此 $\dfrac{\overline{BD}}{\overline{BC}}=\dfrac{\overline{BC}}{\overline{BA}}$。
4. 4

   代入數字

   $\dfrac{\overline{BD}}{24}=\dfrac{24}{36}$，交叉相乘得 $36\times\overline{BD}=24\times24=576$，所以 $\overline{BD}=\dfrac{576}{36}=16$。
5. 5

   寫出答案

   $\overline{BD}=16$。$\overline{BD}=16$ 小於 $\overline{AB}=36$，$D$ 確實落在 $\overline{AB}$ 上，合理。順帶一提，$\overline{AC}=20$ 這個條件本題並沒有用到，它是拿來算 $\overline{DC}$ 的。

關鍵觀念：#相似三角形判別 #AA