114學年鷺江國中第1次段考數學 第18題 詳解

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逐步解析

1. 1

   找出成對的相似三角形

   圖五中 $A$ 在左上、$B$ 在右上、$C$ 在右下、$D$ 在左下，$E$ 在上邊 $\overline{AB}$ 上，對角線 $\overline{DB}$ 與線段 $\overline{EC}$ 交於 $F$。因為 $\overline{AB}\parallel\overline{DC}$，以 $\overline{EC}$ 為截線得 $\angle BEF=\angle DCF$，以 $\overline{BD}$ 為截線得 $\angle EBF=\angle CDF$（都是內錯角），由 AA 得 $\triangle EBF\sim\triangle CDF$。
2. 2

   由面積比推出邊長比

   $\triangle BEF$ 面積 $=9$、$\triangle CFD$ 面積 $=25$，面積比 $9:25$。面積比是相似比的平方，所以相似比 $\overline{EB}:\overline{CD}=3:5$。
3. 3

   把兩個三角形的高也寫出來

   設正方形邊長為 $a$，則 $\overline{CD}=a$、$\overline{EB}=\dfrac{3}{5}a$。$F$ 到 $\overline{AB}$ 的距離與 $F$ 到 $\overline{DC}$ 的距離也照相似比 $3:5$，而這兩段距離相加正好是正方形的邊長 $a$，所以 $F$ 到 $\overline{AB}$ 的距離 $=\dfrac{3}{3+5}a=\dfrac{3}{8}a$。
4. 4

   解出正方形面積

   $\triangle BEF$ 面積 $=\dfrac{1}{2}\times\overline{EB}\times(\text{高})=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{5}a\times\dfrac{3}{8}a=\dfrac{9a^2}{80}=9$，所以 $a^2=80$，正方形面積為 $80$ 平方單位。
5. 5

   用對角線切一半

   $\overline{BD}$ 是正方形的對角線，所以 $\triangle ABD$ 面積是正方形的一半 $=\dfrac{80}{2}=40$。又 $E$ 在 $\overline{AB}$ 上、$F$ 在 $\overline{BD}$ 上，四邊形 $AEFD$ 正好就是 $\triangle ABD$ 挖掉 $\triangle EBF$。
6. 6

   算出答案

   四邊形 $AEFD$ 面積 $=40-9=31$（平方單位）。

關鍵觀念：#相似三角形 #面積 #正方形