114學年鷺江國中第1次段考數學 第20題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先把圖翻譯成兩組直角三角形

   設塔高為 $h$ 公尺，塔底到第一根標竿（離塔較近的那根）的水平距離為 $d$ 公尺。每一次觀測都是「人站在地面某一點，視線通過竿頂直達塔頂」，這條視線、地面、竿子構成的小直角三角形，與這條視線、地面、塔身構成的大直角三角形相似（共用地面上那個仰角，又都有直角）。
2. 2

   第一次觀測列式

   人從第一根標竿再後退 $2$ 公尺，所以觀測點到竿底是 $2$、到塔底是 $2+d$。小三角形的兩股是 $2$ 與竿高 $3$，大三角形的兩股是 $2+d$ 與 $h$，由相似得 $\dfrac{3}{2}=\dfrac{h}{2+d}$。
3. 3

   第二次觀測列式

   第二根標竿在第一根的後方 $57$ 公尺處，所以它到塔底是 $d+57$；人再從它後退 $5$ 公尺，觀測點到竿底是 $5$、到塔底是 $5+57+d=62+d$。由相似得 $\dfrac{3}{5}=\dfrac{h}{62+d}$。
4. 4

   解聯立方程

   由兩式得 $h=\dfrac{3(2+d)}{2}$ 與 $h=\dfrac{3(62+d)}{5}$。令兩者相等並約掉 $3$：$\dfrac{2+d}{2}=\dfrac{62+d}{5}$，交叉相乘得 $5(2+d)=2(62+d)$，即 $5d+10=2d+124$，$3d=114$，$d=38$。
5. 5

   回代求塔高並檢查

   $h=\dfrac{3\times(2+38)}{2}=\dfrac{3\times40}{2}=60$。用第二式檢查：$\dfrac{3\times(62+38)}{5}=\dfrac{300}{5}=60$，兩式一致。
6. 6

   寫出答案

   塔的高度為 $60$ 公尺。

關鍵觀念：#相似三角形應用 #測量問題