114學年鷺江國中第1次段考數學 第23題 詳解

逐步解析

1. 1

   先把面積條件換成邊長條件

   相似形的面積比等於相似比的平方。要讓 $\triangle DEF$ 的面積是 $\triangle ABC$ 的 $\dfrac{1}{4}$，相似比的平方就要等於 $\dfrac{1}{4}$，所以相似比是 $\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}$。也就是說，只要作一個三邊各為原三角形一半的三角形就好。
2. 2

   作出 AB 的中點 E

   以 $A$ 為圓心、取一個大於 $\dfrac{1}{2}\overline{AB}$ 的長為半徑畫弧；再以 $B$ 為圓心、用「同一個半徑」畫弧，兩弧相交於 $\overline{AB}$ 兩側的 $P$、$Q$ 兩點。用直尺連 $\overline{PQ}$，$\overline{PQ}$ 與 $\overline{AB}$ 的交點就是 $\overline{AB}$ 的中點，把它命名為 $E$。
3. 3

   作出 AC 的中點 F

   用同樣的方法：以 $A$ 為圓心、取大於 $\dfrac{1}{2}\overline{AC}$ 的長為半徑畫弧，再以 $C$ 為圓心、同半徑畫弧，兩弧交於 $M$、$N$；連 $\overline{MN}$，與 $\overline{AC}$ 的交點就是 $\overline{AC}$ 的中點，命名為 $F$。
4. 4

   連出所求的三角形

   取 $D$ 為原來的 $A$ 點，再用直尺連 $\overline{EF}$。$\overline{DE}$ 就落在 $\overline{AB}$ 上、$\overline{DF}$ 就落在 $\overline{AC}$ 上，於是 $\triangle DEF$（也就是 $\triangle AEF$）作圖完成。
5. 5

   說明為什麼相似

   $\overline{DE}=\dfrac{1}{2}\overline{AB}$、$\overline{DF}=\dfrac{1}{2}\overline{AC}$，所以 $\overline{DE}:\overline{AB}=\overline{DF}:\overline{AC}=1:2$，兩組對應邊成比例；而這兩組邊所夾的 $\angle EDF$ 與 $\angle BAC$ 根本是同一個角，當然相等。由 SAS 相似判別法得 $\triangle DEF\sim\triangle ABC$，相似比 $1:2$，條件一達成。
6. 6

   說明為什麼面積是四分之一

   相似比 $1:2$ 表示對應的底邊和對應的高都縮成原來的一半。三角形面積 $=\dfrac{1}{2}\times$ 底 $\times$ 高，底乘 $\dfrac{1}{2}$、高也乘 $\dfrac{1}{2}$，面積就乘 $\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$。因此 $\triangle DEF$ 的面積確實是 $\triangle ABC$ 的 $\dfrac{1}{4}$ 倍，條件二也達成，作圖成立。

關鍵觀念：#尺規作圖 #相似三角形 #面積比

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