114學年鷺江國中第1次段考數學 第24題 詳解

答案(1) $5\sqrt{2}$ (2) 略（證明題）看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   第一小題先補出 BD

   圖(八)中 $D$ 在 $\overline{BC}$ 上，所以 $\overline{BD}=\overline{BC}-\overline{CD}=15-10=5$。
2. 2

   用性質丙算出 AD

   $\overline{AD}$ 是斜邊上的高，對應的是性質(丙) $\overline{AD}^2=\overline{CD}\times\overline{BD}$，注意右邊乘的是被 $D$ 分出來的「兩小段」。代入得 $\overline{AD}^2=10\times5=50$，所以 $\overline{AD}=\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=5\sqrt{2}$。第一小題的答案是 $5\sqrt{2}$。
3. 3

   第二小題先把兩個平方分開寫

   目標是證 $\overline{BC}^2=\overline{AB}^2+\overline{AC}^2$，策略是把右邊的兩個平方各自換掉。先用性質(乙)：$\overline{AB}^2=\overline{BD}\times\overline{BC}$；再用性質(甲)：$\overline{AC}^2=\overline{CD}\times\overline{BC}$。
4. 4

   兩式相加並提出公因式

   把上面兩式左右相加：$\overline{AB}^2+\overline{AC}^2=\overline{BD}\times\overline{BC}+\overline{CD}\times\overline{BC}$。右邊兩項都有共同的 $\overline{BC}$，提出來得 $\overline{AB}^2+\overline{AC}^2=\overline{BC}\times(\overline{BD}+\overline{CD})$。
5. 5

   用 D 在 BC 上收尾

   因為 $D$ 是 $\overline{BC}$ 上的一點，兩小段合起來就是整條，即 $\overline{BD}+\overline{CD}=\overline{BC}$。代回去得 $\overline{AB}^2+\overline{AC}^2=\overline{BC}\times\overline{BC}=\overline{BC}^2$，也就是 $\overline{BC}^2=\overline{AB}^2+\overline{AC}^2$，畢氏定理得證。（本小題只用到性質甲與乙，性質丙用不到。）
6. 6

   用第二小題回頭檢查第一小題

   由性質(乙)得 $\overline{AB}^2=5\times15=75$，由性質(甲)得 $\overline{AC}^2=10\times15=150$，兩者相加 $75+150=225=15^2=\overline{BC}^2$，與剛才的推導相符。再用兩種算面積的方式檢查 $\overline{AD}$：$\dfrac{1}{2}\overline{AB}\times\overline{AC}=\dfrac{1}{2}\overline{BC}\times\overline{AD}$，得 $\overline{AD}=\dfrac{\sqrt{75}\times\sqrt{150}}{15}=\dfrac{\sqrt{11250}}{15}=\dfrac{75\sqrt{2}}{15}=5\sqrt{2}$，和第一小題一致。

關鍵觀念：#相似三角形 #母子相似性質 #畢氏定理

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