114學年鷺江國中第1次段考數學 第3題 詳解

逐步解析

1. 1

   看清楚給了哪兩組邊

   $\triangle ADE$ 和 $\triangle ABC$ 共用 $\angle A$。題目給的比是 $\overline{AD}:\overline{AB}$ 和 $\overline{DE}:\overline{BC}$，其中 $\overline{DE}$ 和 $\overline{BC}$ 都是 $\angle A$ 的對邊。
2. 2

   檢查這個角是不是夾角

   要用 SAS 相似判別，相等的角必須是那兩組成比例的邊所夾的角。$\angle A$ 夾的是 $\overline{AD}$ 與 $\overline{AE}$，題目卻給了 $\overline{DE}$，屬於「兩邊一角但角不是夾角」的 SSA 情形，判不出相似。
3. 3

   用畫弧的方式找反例

   先取真正平行的那個點 $E_0$，也就是 $\overline{AE_0}:\overline{AC}=\overline{AD}:\overline{AB}$，此時 $\overline{DE_0}:\overline{BC}$ 確實等於 $\overline{AD}:\overline{AB}$。接著以 $D$ 為圓心、$\overline{DE_0}$ 為半徑畫弧，這個弧通常會和 $\overline{AC}$ 再交於另一點 $E_1$。對 $E_1$ 來說 $\overline{DE_1}=\overline{DE_0}$，題目的條件照樣成立，但 $E_1$ 不是原來的位置，$\overline{DE_1}$ 當然不平行 $\overline{BC}$。
4. 4

   補上具體數字

   取 $\triangle ABC$ 中 $\angle B=90^\circ$、$\overline{AB}=40$、$\overline{BC}=30$、$\overline{AC}=50$。令 $D$ 為 $\overline{AB}$ 中點，$\overline{AD}=20$；在 $\overline{AC}$ 上取 $E$ 使 $\overline{AE}=7$，此時可算出 $\overline{DE}=15$：由 $E$ 向 $\overline{AB}$ 作垂線交於 $H$，因 $\triangle AHE\sim\triangle ABC$，得 $\overline{AH}=40\times\dfrac{7}{50}=5.6$、$\overline{HE}=30\times\dfrac{7}{50}=4.2$，於是 $\overline{HD}=20-5.6=14.4$，由畢氏定理 $\overline{DE}=\sqrt{14.4^2+4.2^2}=\sqrt{225}=15$。於是 $\overline{AD}:\overline{AB}=20:40=1:2$、$\overline{DE}:\overline{BC}=15:30=1:2$，條件完全成立，但 $\overline{AE}:\overline{AC}=7:50$ 並不是 $1:2$，所以 $\overline{DE}$ 不平行 $\overline{BC}$。
5. 5

   寫出結論

   敘述錯在第二個比用了 $\overline{DE}:\overline{BC}$。要推出 $\overline{DE}\parallel\overline{BC}$，條件必須改成 $\overline{AD}:\overline{AB}=\overline{AE}:\overline{AC}$，也就是兩組都要是夾住 $\angle A$ 的邊。故本題答案為 ×。

關鍵觀念：#平行線截線段成比例 #相似三角形