114學年鷺江國中第1次段考數學 第6題 詳解

逐步解析

1. 1

   把連比寫成同一個倍數

   $x:y:z=a:b:c$ 表示存在一個不為 $0$ 的數 $k$，使得 $x=ak$、$y=bk$、$z=ck$。把這三個式子代進去檢查，比逐一交叉相乘可靠得多。
2. 2

   三個式子各自算一次

   $az=a\times ck=ack$；$by=b\times bk=b^2k$；$cx=c\times ak=ack$。可以看到 $az$ 和 $cx$ 永遠相等，但 $by=b^2k$ 只有在 $b^2=ac$ 時才會等於它們，並不是「必成立」。
3. 3

   舉一個具體反例

   取 $a=1$、$b=2$、$c=3$、$k=1$，也就是 $x=1$、$y=2$、$z=3$，確實滿足 $x:y:z=a:b:c$ 且兩組乘積都不為 $0$。此時 $az=1\times3=3$、$by=2\times2=4$、$cx=3\times1=3$，$3\neq4$，等式不成立。
4. 4

   寫出結論

   錯在中間的 $by$。由 $x:y:z=a:b:c$ 交叉相乘真正得到的是 $ay=bx$、$bz=cy$、$az=cx$，$y$ 在交叉相乘裡只會配上 $a$ 或 $c$（$ay=bx$、$cy=bz$），不會出現 $by$ 這種「同位置字母自己相乘」的式子。故本題答案為 ×。

關鍵觀念：#連比 #比例式

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