114學年鷺江國中第3次段考數學 第11題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先認出 CO 是一條中線

   圖中直角在 $C$（$B$ 在左下、$C$ 在右下、$A$ 在右上），外心 $O$ 畫在斜邊 $\overline{AB}$ 上。這是因為直角三角形的外心就是斜邊中點，所以 $O$ 是 $\overline{AB}$ 的中點，$\overline{CO}$ 正是從頂點 $C$ 連到對邊中點的中線。
2. 2

   算出中線 CO 的長度

   $\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}$ 都是外接圓半徑，而斜邊 $\overline{AB}=15$ 就是直徑，所以半徑 $=\frac{15}{2}$，即 $\overline{CO}=7.5$。
3. 3

   用重心把中線分成二比一

   圖中另外那條線是從 $B$ 連到 $\overline{AC}$ 中點的中線，它和 $\overline{CO}$ 交於 $G$，兩條中線的交點就是重心。重心把每條中線分成「頂點端比中點端等於 $2:1$」，所以 $\overline{CG}:\overline{GO}=2:1$，也就是 $\overline{CG}=\frac23\overline{CO}$。
4. 4

   代數求值

   $\overline{CG}=\frac23\times 7.5=5$，故選 (D)。順帶一提，$\overline{AC}=12$ 可以讓我們確認這是 $9$、$12$、$15$ 的直角三角形；實際算 $\overline{CG}$ 時只會用到斜邊長。

關鍵觀念：#外心 #重心 #直角三角形

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