115分科測驗數學甲 第6題 詳解

對於實係數多項式 $f(x)$，將閉區間 $[a,b]$ 分割成三等分段，取每個分段左端點上的 $f(x)$ 函數值所得到的黎曼和記為 $M_a^b(f)$，
即 $M_a^b(f)=\dfrac{b-a}{3}\left[f(a)+f\left(a+\dfrac{b-a}{3}\right)+f\left(a+\dfrac{2(b-a)}{3}\right)\right]$；
取每個分段右端點上的 $f(x)$ 函數值所得到的黎曼和記為 $N_a^b(f)$，
即 $N_a^b(f)=\dfrac{b-a}{3}\left[f\left(a+\dfrac{b-a}{3}\right)+f\left(a+\dfrac{2(b-a)}{3}\right)+f(b)\right]$。
若已知 $f(x)$ 及其一階與二階導函數在三段開區間的正、負，如下表：

區間正負表
| 區間 | (2,3) | (4,5) | (6,7) |
| $f(x)$ | 正 | 負 | 負 |
| $f'(x)$ | 負 | 正 | 負 |
| $f''(x)$ | 負 | 負 | 正 |

例如：在開區間 $(2,3)$ 上，滿足 $f(x)>0$，$f'(x)<0$ 且 $f''(x)<0$。試選出正確的選項。
(1) 在開區間 $(4,5)$ 上，函數 $y=f(x)$ 遞增且圖形凹口向上
(2) 在閉區間 $[5,6]$ 上，函數 $y=f(x)$ 的圖形有反曲點
(3) $\displaystyle\int_2^3 f(x)\,dx<M_2^3(f)$
(4) $\displaystyle\int_4^5 f(x)\,dx>N_4^5(f)$
(5) $\displaystyle\int_6^7 f(x)\,dx>\dfrac12\left(M_6^7(f)+N_6^7(f)\right)$