109學年鷺江國中第1次段考數學 第22題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先求 DF 的長

   正方形 $ABCD$ 的邊長是 $16$，$F$ 在 $\overline{BC}$ 上且 $\overline{BF}=4$，所以 $\overline{FC}=16-4=12$。在 $\triangle DCF$ 中 $\angle C=90^\circ$，由畢氏定理 $\overline{DF}^2=\overline{FC}^2+\overline{CD}^2=12^2+16^2=144+256=400$，所以 $\overline{DF}=20$。
2. 2

   把角度轉一圈

   $B$、$F$、$C$ 落在同一條直線上，而 $EFGH$ 是正方形所以 $\angle EFG=90^\circ$，因此 $\angle EFB+\angle GFC=180^\circ-90^\circ=90^\circ$。又 $G$ 在 $\overline{DF}$ 上，$\angle GFC$ 就是 $\angle DFC$；在直角三角形 $DCF$ 中 $\angle DFC+\angle FDC=90^\circ$。兩式對照得 $\angle EFB=\angle FDC$。
3. 3

   判定相似

   $\triangle EBF$ 與 $\triangle FCD$ 中，$\angle EBF=\angle FCD=90^\circ$、$\angle EFB=\angle FDC$，由 AA 相似得 $\triangle EBF\sim\triangle FCD$，對應順序是 $E\leftrightarrow F$、$B\leftrightarrow C$、$F\leftrightarrow D$。
4. 4

   求小正方形邊長

   由對應邊成比例得 $\overline{EF}:\overline{FD}=\overline{BF}:\overline{CD}=4:16=1:4$。已知 $\overline{FD}=20$，所以 $\overline{EF}=20\div4=5$。
5. 5

   相減求 DG

   $EFGH$ 是正方形，所以 $\overline{FG}=\overline{EF}=5$。而 $G$ 落在 $\overline{DF}$ 上，因此 $\overline{DG}=\overline{DF}-\overline{FG}=20-5=15$。

關鍵觀念：#正方形 #相似三角形 #畢氏定理

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