109學年鷺江國中第3次段考數學 第13題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先把三邊長補齊

   承上題，$A(3,4)$、$B(3,-2)$、$C(-5,-2)$。$\overline{AB}=4-(-2)=6$，$\overline{BC}=3-(-5)=8$，由畢氏定理 $\overline{AC}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$。這是一個 $6$、$8$、$10$ 的直角三角形。
2. 2

   大雄與一哥都沒錯

   大雄說外接圓半徑是 $5$：外心是斜邊中點，外接圓半徑等於斜邊的一半，$10\div2=5$，正確。一哥說內切圓半徑是 $2$：設半徑為 $r$，用面積兩種算法比較，$\dfrac{1}{2}\times6\times8=\dfrac{1}{2}\times(6+8+10)\times r$，即 $24=12r$，得 $r=2$，也正確。
3. 3

   安安也沒錯

   安安說 $\angle B$ 的內角平分線不會通過 $M$。設這條平分線交 $\overline{AC}$ 於 $P$，由角平分線分對邊的性質，$\overline{AP}:\overline{PC}=\overline{AB}:\overline{BC}=6:8=3:4$。而 $M$ 是 $\overline{AC}$ 的中點，對應的比是 $1:1$。$3:4$ 不等於 $1:1$，所以這條平分線交在 $\overline{AC}$ 上的點不是 $M$，安安說得對。
4. 4

   臻臻算錯了

   $\overline{AB}$ 垂直 $\overline{BC}$，所以 $C$ 到 $\overline{AB}$ 的距離就是 $\overline{BC}=8$。取 $\overline{AB}$ 的中點 $N$，重心 $G$ 落在中線 $\overline{CN}$ 上且 $\overline{CG}:\overline{GN}=2:1$，因此 $G$ 到 $\overline{AB}$ 的距離只有 $C$ 的 $\dfrac{1}{3}$，等於 $8\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{8}{3}$。$\dfrac{8}{3}$ 不等於 $3$，所以判斷錯誤的是臻臻，故選 (D)。

關鍵觀念：#外心 #內心 #重心 #外接圓半徑 #內切圓半徑 #角平分線

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