109學年鷺江國中第3次段考數學 第2題 詳解

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逐步解析

1. 1

   三塊小三角形同高

   設內切圓半徑為 $r$。$I$ 是內心，所以 $I$ 到 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$、$\overline{CA}$ 的距離都是 $r$。把 $\overline{IA}$、$\overline{IB}$、$\overline{IC}$ 連起來，$\triangle ABC$ 被切成三塊：$\triangle AIB$ 以 $\overline{AB}$ 為底、$\triangle BIC$ 以 $\overline{BC}$ 為底、$\triangle AIC$ 以 $\overline{CA}$ 為底，三塊的高都等於 $r$。
2. 2

   面積比等於邊長比

   三塊的面積分別是 $\dfrac{1}{2}\times\overline{AB}\times r$、$\dfrac{1}{2}\times\overline{BC}\times r$、$\dfrac{1}{2}\times\overline{CA}\times r$，所以 $\triangle AIB:\triangle BIC:\triangle AIC=\overline{AB}:\overline{BC}:\overline{CA}$。誰的底邊最長，那一塊的面積就最大。
3. 3

   用大角對大邊找最長邊

   同一個三角形中，大角對大邊。$\angle C=98°$ 是最大的角，它所對的邊是 $\overline{AB}$，所以 $\overline{AB}$ 最長，對應的 $\triangle AIB$ 面積最大。又 $\angle A=\angle B=41°$，所以 $\overline{BC}=\overline{CA}$，另外兩塊面積相等。
4. 4

   檢查最後一個選項

   (D) 說 $\triangle AIC$ 的面積加 $\triangle BIC$ 的面積等於 $\triangle AIB$ 的面積，換成底邊就是 $\overline{CA}+\overline{BC}=\overline{AB}$。但三角形任兩邊之和一定大於第三邊，$\overline{CA}+\overline{BC}>\overline{AB}$，所以這個等式不可能成立。面積最大的是 $\triangle AIB$，故選 (A)。

關鍵觀念：#內心 #三角形面積 #大角對大邊

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