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109學年新莊國中第2次段考數學 第11題 詳解

角平分線與垂直平分線求角度 · 填充 · 題目出處：109 學年度第 2 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立新莊國民中學）

題目
如圖BB，△ABC\triangle ABC中，DD、EE兩點分別在AC‾\overline{AC}、BC‾\overline{BC}上，DE‾\overline{DE}為BC‾\overline{BC}的垂直平分線，BD‾\overline{BD}為∠ADE\angle ADE的角平分線。若∠A=58°\angle A=58°，則∠ABD=\angle ABD=___度
三角形ABC：A在左上頂端、B在左下、C在右下。D在AC邊上（A、C之間）；E在BC邊上，E的左右位置與D大致對齊（D在E的正上方）。圖中畫出AB（A到B）、AC（A經過D到C）、BC（B經過E到C）、BD（B到D的線段）、DE（D到E的線段，方向大致垂直於BC）。B、C兩個頂點處都沒有畫直角記號。AB畫成鉛直線、BC畫成水平線，∠B看起來像直角，但B點沒有直角記號；E點處也沒有直角記號。

答案62看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    中垂線性質

    ∵ BE‾=CE‾\overline{BE}=\overline{CE}，∠DEB=∠DEC=90°\angle DEB=\angle DEC=90°，DE‾=DE‾\overline{DE}=\overline{DE}
    ∴ △DBE≅△DCE\triangle DBE\cong\triangle DCE（SAS 全等）
    ⇒\Rightarrow ∠BDE=∠CDE\angle BDE=\angle CDE
  2. 2

    D點三等角

    又 BD‾\overline{BD} 平分 ∠ADE\angle ADE ⇒\Rightarrow ∠ADB=∠BDE=∠CDE\angle ADB=\angle BDE=\angle CDE，
    ∠ADB+∠BDE+∠CDE=180°\angle ADB+\angle BDE+\angle CDE=180° ⇒\Rightarrow ∠ADB=60°\angle ADB=60°
  3. 3

    求∠ABD

    △ABD\triangle ABD 中，∠ABD=180°−58°−60°=62°\angle ABD=180°-58°-60°=62°
答案
62

關鍵觀念：#角平分線 #垂直平分線 #外角

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常見卡點
圖上 ∠B\angle B 看起來像直角，但題目沒有給這個條件。若當成 90°90°，會得 ∠C=32°\angle C=32°、∠DBC=32°\angle DBC=32°，算出 ∠ABD=58°\angle ABD=58°，和正確的 62°62° 很接近，不容易察覺；其實 ∠C=30°\angle C=30°，∠ABC=92°\angle ABC=92°。角平分線的條件一定要用上，DD 點的三個角才會都是 60°60°，再用內角和求出所求。

還是卡住嗎？

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