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109學年新莊國中第2次段考數學 第2題 詳解

長方形內角平分線分割三角形面積比 · 單選 · 題目出處：109 學年度第 2 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立新莊國民中學）

題目
如圖2，長方形ABCDABCD中，EE點在BC‾\overline{BC}上，AE‾\overline{AE}平分∠BAC\angle BAC。若BC‾=12\overline{BC}=12，AC‾=15\overline{AC}=15，則△ABE\triangle ABE面積與△ACE\triangle ACE面積的比為何？ (A)2:32:3 (B)3:43:4 (C)3:53:5 (D)4:54:5
長方形ABCD：A在左上、D在右上、B在左下、C在右下。對角線AC由A畫到C。另一條線段AE由A畫到BC邊上的E點，E的位置偏靠近B（比靠近C近）。

答案(C)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    求AB

    ∵ ∠B=90°\angle B=90°
    ∴ AB‾=152−122=81=9\overline{AB}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{81}=9（畢氏定理）
  2. 2

    角平分線性質

    作 EH‾⊥AC‾\overline{EH}\perp\overline{AC} 於 HH 點，
    ∵ AE‾\overline{AE} 平分 ∠BAC\angle BAC，EB‾⊥AB‾\overline{EB}\perp\overline{AB}
    ∴ EH‾=EB‾\overline{EH}=\overline{EB}（角平分線上的點到角的兩邊等距離）
  3. 3

    求面積比

    △ABE\triangle ABE 面積：△ACE\triangle ACE 面積
    =(12×AB‾×EB‾):(12×AC‾×EH‾)=\left(\dfrac12\times\overline{AB}\times\overline{EB}\right):\left(\dfrac12\times\overline{AC}\times\overline{EH}\right)
    =AB‾:AC‾=9:15=3:5=\overline{AB}:\overline{AC}=9:15=3:5
    故選(C)。
答案
(C)

關鍵觀念：#角平分線 #三角形面積 #畢氏定理

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常見卡點
面積比是 AB‾:AC‾\overline{AB}:\overline{AC}，但 AB‾\overline{AB} 題目沒有給，要先用畢氏定理算出 9。沒求 AB‾\overline{AB} 就直接拿題目給的 12 和 15 相比，得 4:54:5，會誤選(D)。另外 EE 不是 BC‾\overline{BC} 的中點，角平分線不會把對邊平分，兩塊面積也不相等。

還是卡住嗎？

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