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109學年新莊國中第2次段考數學 第6題 詳解

尺規作圖求六邊形內等距點 · 單選 · 題目出處：109 學年度第 2 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立新莊國民中學）

題目
如圖5，在六邊形ABCDEFABCDEF中，小妍與小翊想在此六邊形內部找到一點PP，使PP點到ABAB、BCBC、DEDE等距離，兩人利用尺規作圖作法如下。請判斷他們的作法是否正確？

小妍：(1)作∠ABC\angle ABC的角平分線MM。(2)作DE‾\overline{DE}的垂直平分線NN，交直線MM於PP點，此點即為所求。

小翊：(1)作∠ABC\angle ABC的角平分線MM。(2)延長BC→\overrightarrow{BC}、ED→\overrightarrow{ED}交於一點GG，作∠CGD\angle CGD的角平分線NN，交直線MM於PP點，即為所求。

(A)小妍正確，小翊錯誤 (B)小翊正確，小妍錯誤 (C)兩人皆正確 (D)兩人皆錯誤
六邊形ABCDEF，頂點A→B→C→D→E→F依逆時針方向排列：A在左上、B在左側、C在左下、D在右下、E在右側、F在右上；AF、CD兩邊接近水平，各邊長度不完全相等。

答案(B)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    檢查小妍

    小妍：DE‾\overline{DE} 的垂直平分線上的點只保證到 DD、EE 兩點等距離，
    不保證到 DE‾\overline{DE} 的距離等於到 BC‾\overline{BC} 的距離 ⇒\Rightarrow 小妍錯誤
  2. 2

    檢查小翊

    小翊：∵ PP 在 ∠ABC\angle ABC 的角平分線 MM 上
    ∴ PP 到 AB‾\overline{AB}、BC‾\overline{BC} 等距離（角平分線上的點到角的兩邊等距離）
    又∵ PP 在 ∠CGD\angle CGD 的角平分線 NN 上，BC‾\overline{BC}、DE‾\overline{DE} 在 ∠CGD\angle CGD 的兩邊上
    ∴ PP 到 BC‾\overline{BC}、DE‾\overline{DE} 等距離 ⇒\Rightarrow 小翊正確
    可知小翊正確、小妍錯誤，故選(B)。
答案
(B)

關鍵觀念：#角平分線 #垂直平分線 #尺規作圖

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常見卡點
「到兩點等距」用垂直平分線，「到兩條線等距」用角平分線，這兩件事最容易混用；以為 DE‾\overline{DE} 的垂直平分線能讓 PP 到 DE‾\overline{DE} 與到 BC‾\overline{BC} 的距離相等，會認為小妍也對而誤選(C)。小翊的 GG 雖然在六邊形外面，但 ∠CGD\angle CGD 的兩邊正好落在 BC‾\overline{BC}、DE‾\overline{DE} 所在的直線上，作法沒有問題。

還是卡住嗎？

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